Cada espacio $X$ con un subespacio denso de Menger debe ser débilmente Menger es decir, para cada secuencia $\{\mathcal{U}_n: n<\omega \}$ de cubiertas abiertas existe una subcolección finita $\mathcal{V}_n \subset \mathcal{U}_n$ tal que $\bigcup \{\mathcal{V}_n: n <\omega \}$ es denso en $X$ . Por lo tanto, basta con encontrar un espacio de Lindelöf no débilmente Menger.
Dado un espacio topológico $(Y, \tau)$ denotemos por $\mathcal{K}[Y]$ el espacio de todos los subconjuntos compactos no densos en ninguna parte de $Y$ dotado de la topología de Pixley-Roy, es decir, la topología generada por la familia $\{[F,U]: F \in \mathcal{K}[Y], U \in \tau, F \subset U\}$ donde $[F,U]=\{G \in \mathcal{K}[Y]: F \subset G \subset U\}$ .
Sea $\mathbb{P}$ sea el espacio de los irracionales y consideremos el espacio $Z=\mathcal{K}[\mathbb{P}]$ . van Douwen, Tall y Weiss demostraron que $Z$ es un espacio ccc no separable de primera cuenta de dimensión cero sin puntos aislados (véase el Teorema 3 de van Douwen, Eric K.; Tall, Franklin D.; Weiss, William A. R. , Lindelöf hereditario no metrizable de CH Proc. Am. Math. Soc. (pendiente de publicación) ZBL0345.54016 .) y por tanto, por el Corolario de la página 140 del mismo trabajo, bajo CH, $Z$ contiene un subespacio Luzin denso $X$ . Luzin quiere decir que todo subconjunto denso en ninguna parte de $X$ es contable y es fácil ver que esta característica, junto con la ccc de $X$ implica que $X$ es hereditariamente Lindelof. Queda por demostrar que $X$ no es débilmente Menger, pero como $X$ es denso en $Z$ basta con demostrar que $Z$ no es débilmente Menger.
En efecto, puesto que $\mathbb{P}$ no es Menger, existe una secuencia contable $\{\mathcal{U}_n: n < \omega \}$ de cubiertas abiertas de $\mathbb{P}$ que lo atestigua. Por cada $K \in Z$ deje $\mathcal{U}^K_n$ sea una subcolección finita de $\mathcal{U}_n$ que cubre $K$ . Entonces $\mathcal{O}_n=\{[K, \bigcup \mathcal{U}^K_n]: K \in Z \}$ es una cubierta abierta de $Z$ para cada $n<\omega$ . Sea $\mathcal{G}_n$ sea una subcolección finita de $\mathcal{O}_n$ y que $\mathcal{F}_n$ sea el subconjunto finito de $Z$ tal que $K \in \mathcal{F}_n$ sólo si $[K, \bigcup \mathcal{U}^K_n] \in \mathcal{G}_n$ . Entonces $\bigcup \{\mathcal{U}^K_n: K \in \mathcal{F}_n \}$ es una subcolección finita de $\mathcal{U}_n$ para cada $n<\omega$ y, por tanto, existe un punto $y \in \mathbb{P} \setminus (\bigcup \{ \bigcup \{\mathcal{U}^K_n: K \in \mathcal{F}_n \}: n < \omega\})$ . De ello se deduce que $[\{y\}, \mathbb{P}]$ es un subconjunto abierto no vacío de $Z$ que es disjunta de $\bigcup \{\mathcal{G}_n : n < \omega \}$ lo que demuestra que $Z$ no es débilmente Menger.
