¿Por qué es intuitivamente plausible la correspondencia de Galois?

Question

El Teorema de Correspondencia de Galois dice que para cualquier extensión de Galois de campos $K/F$ existe una correspondencia de inversión de inclusión uno a uno entre los campos intermedios $K \supseteq E \supseteq F$ y subgrupos del grupo de Galois $\text{Gal }K/F$ . Tengo dos preguntas al respecto:

1. ¿Por qué es importante este teorema? Cuando lo aprendí por primera vez, me dije a mí mismo que era sólo una herramienta computacional: convierte problemas sobre campos, que son difíciles de entender, en problemas sobre grupos, que son más fáciles de entender. Pero está claro que no está ahí sólo por comodidad computacional, sino que es un resultado importante por derecho propio. Así que pregunto: ¿existe una no utilitario ¿Por qué el teorema es profundo? En otras palabras, ¿qué "verdad subyacente" sobre la estructura algebraica de los campos revela este teorema?

2. ¿Por qué es intuitivamente plausible este teorema? Tal y como yo lo he entendido, si se coloca la red de subcampos de $K/F$ y la red de subgrupos de $\text{Gal }K/F$ uno al lado del otro (con este último al revés), entonces los diagramas son iguales. Esto me parece muy fuera de lugar. ¿Por qué es intuitivamente plausible que estos dos diagramas sean iguales? ¿Por qué deberíamos esperar que estudiando las simetrías de una extensión de campo podamos recuperar la estructura de todo el campo en sí? Una explicación con un ejemplo concreto de ampliación de un campo, sería genial.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Limitaré aquí la discusión a las extensiones finitas de campos. Existe una teoría de Galois para extensiones algebraicas de grado posiblemente infinito, y se trata de una herramienta esencial en la teoría moderna de números a través del papel de las representaciones de Galois. Se podría decir que la "prueba del último teorema de Fermat" es un resultado ampliamente conocido que sería imposible sin la teoría de Galois (y muchas más matemáticas).

Para apreciar lo que hace intuitiva la correspondencia de Galois, tenga en cuenta los siguientes puntos.

1. Los mapeos en ambas direcciones para la correspondencia de Galois tienen sentido para un arbitraria extensión finita de campos $K/F$ pero sólo para las extensiones de Galois estas dos correspondencias son realmente inversas entre sí. Por ejemplo, $\mathbf Q(\sqrt[n]{2})/\mathbf Q$ tiene un grupo de automorfismo trivial cuando $n$ es impar, pero hay muchas extensiones de campo intermedias si $n$ tiene muchos factores (véase mi respuesta a la pregunta MSE aquí ). Vale la pena pensar por qué la correspondencia de Galois no funciona para $\mathbf Q(\sqrt[3]{2})/\mathbf Q$ o $\mathbf Q(\sqrt[4]{2})/\mathbf Q$ pero funciona para $\mathbf Q(\sqrt[3]{2},e^{2\pi i/3})/\mathbf Q$ y $\mathbf Q(\sqrt[4]{2},i)/\mathbf Q$ . Hay algo que ocurre cuando nos unimos tous las raíces de $x^3-2$ a $\mathbf Q$ o tous las raíces de $x^4-2$ a $\mathbf Q$ que no funciona cuando adjuntamos sólo un subconjunto adecuado de las raíces a $\mathbf Q$ . ¿Puede explicar en qué consiste?

2. Para dar una respuesta a la pregunta del final del punto anterior, expresada de la forma más sencilla, necesitamos dar alguna intuición detrás de la magia de los campos divisorios en comparación con las extensiones finitas que no son campos divisorios. Creo que la explicación más básica de por qué los campos divisores (extensiones normales) son tan especiales es el teorema de la función simétrica: todo polinomio simétrico en $r_1, \ldots, r_n$ es un polinomio en los polinomios simétricos elementales de $r_1, \ldots, r_n$ . Dado que los polinomios simétricos elementales en $r_1, \ldots, r_n$ son los coeficientes de $(x-r_1)\cdots(x-r_n)$ si ese polinomio tiene coeficientes en $\mathbf Q$ entonces todas las expresiones polinómicas simétricas en $r_1, \ldots, r_n$ van a ser racionales, y he aquí por qué eso es tan importante: demuestra que cada número en $\mathbf Q(r_1,\ldots,r_n)$ tiene todas las demás raíces de su polinomio mínimo sobre $\mathbf Q$ ya en ese campo. Si $K$ es un campo de división sobre $F$ de algún polinomio $f(x)$ entonces cada $\alpha \in K$ tiene todas las demás raíces de su polinomio mínimo sobre $F$ también en $K$ . Esa es la "verdad profunda subyacente" sobre las extensiones de Galois, que puede demostrarse utilizando el teorema de la función simétrica antes de demostrar que la correspondencia de Galois funciona. Las explicaciones modernas de la teoría de Galois no dependen de este enfoque, pero las explicaciones anteriores sí lo hacían.

3. Las extensiones de Galois son muy abundantes: una extensión finita de campos $K/F$ en característica $0$ (terreno de la intuición) siempre puede ampliarse a una extensión finita de Galois $K'/F$ por lo que podemos aprovecha de las extensiones de Galois para resolver problemas no expresados originalmente en el entorno de las extensiones de Galois.

4. La cuestión de las extensiones de Galois que requieren separabilidad debe considerarse un tecnicismo no directamente relevante para su intuición: la intuición tiene lugar en la característica $0$ donde todos los polinomios irreducibles son automáticamente separables. Intuitivamente, extensiones de Galois = extensiones normales. Esto no suele ser cierto en la característica $p$ pero se intuye la teoría de Galois en la característica $0$ y el teorema de la función simétrica explica por qué la simetría en la correspondencia de Galois funciona para las extensiones de Galois.

La correspondencia de Galois es profunda en la teoría de números porque conduce a una forma muy poco obvia de convertir ideales primos en automorfismos de campo (esto utiliza la teoría de Galois para campos de números y campos finitos). El término técnico es "automorfismo de Frobenius asociado a un ideal primo".

Otra razón por la que la correspondencia de Galois es tan profunda es que sirve de modelo para correspondencias similares en otros campos de las matemáticas. Existen correspondencias de inclusión-inversión entre

a) subgrupos de ${\rm Gal}(K/F)$ y campos intermedios entre $K$ y $F$ ,

b) subespacios de un espacio vectorial de dimensión finita y subespacios de su espacio dual,

c) subgrupos de un grupo abeliano finito $A$ y subgrupos de su grupo dual ${\rm Hom}(A,\mathbf C^\times)$ (generalizando a todos los grupos abelianos localmente compactos por dualidad de Pontryagin)

d) subvariedades de afines $n$ -space over $\mathbf C$ e ideales radicales en $\mathbf C[x_1,\ldots,x_n]$ ,

e) subgrupos del grupo fundamental de un espacio agradable $X$ y espacios de cobertura de $X$ .

Todas estas correspondencias tienen características similares y sucede que históricamente se encontró primero la correspondencia con extensiones de campo (correspondencia de Galois).

Considerando el ejemplo (c), si se definen los caracteres de un grupo finito arbitrario $G$ de la misma forma que se definen los caracteres de un grupo abeliano finito (homomorfismos del grupo a $\mathbf C^\times$ ), vas a perder muchas de las buenas propiedades porque los homomorfismos $G \to \mathbf C^\times$ sólo puede ver $G$ en cuanto al grupo cociente $G/[G,G]$ (abelianización de $G$ ). Para que la teoría de caracteres funcione bien para grupos finitos arbitrarios, tenemos que permitir representaciones irreducibles de dimensión mayor que $1$ .

Answer 2

¿Por qué es intuitivamente plausible este teorema?

Además de buscar razones abstractas de plausibilidad y heurísticas, también hay que buscar siempre ejemplos buenos y memorables. Los campos finitos hacen el truco aquí.

Los campos intermedios entre $\mathbb{F}_{p^n}$ y $\mathbb{F}_p$ son $\mathbb{F}_{p^k}$ para $k \mid n$ . Los automorfismos de $\mathbb{F}_{p^n}$ en $\mathbb{F}_p$ son $\{1, \phi, \phi^2, \ldots, \phi^{n-1}\}$ donde $\phi$ es el automorfismo de Frobenius $\phi(x) = x^p$ y el grupo de automorfismo es cíclico de orden $n$ . Los subgrupos son, por tanto, grupos cíclicos de orden $k$ para $k \mid n$ . Entonces, tenemos el mismo número de subcampos y subgrupos ¿existe una biyección?

Las redes de inclusión son claramente las mismas, es decir, lineales. El subgrupo $\{1, \phi^k, \phi^{2k}, \ldots\}$ es el grupo de automorfismo de $\mathbb{F}_{p^n}$ en $\mathbb{F}_{p^k}$ así que se está invirtiendo el orden. En la otra dirección, el campo fijo de $\{1, \phi^k, \phi^{2k}, \ldots\}$ es $\mathbb{F}_{p^k}$ y tomar el campo fijo es también una operación de inversión de orden. En principio, es bastante plausible que estas operaciones también intercambien encuentros y uniones, aunque este ejemplo no lo ilustra realmente.

Un optimista de ojos abiertos podría conjeturar alegremente que la correspondencia de Galois se mantiene siempre basándose en este ejemplo. Ese optimista haría bien en poner a prueba la conjetura, lo que por supuesto requiere más hipótesis. Un buen ejemplo sería $\mathbb{Q}(2^{1/4}, i)$ en $\mathbb{Q}$ . Resulta que el grupo de Galois es el grupo diedro de orden 8 cuya red de subgrupos no es simétrica, aunque es lo suficientemente pequeña como para no serlo. demasiado fastidioso de trabajar a mano. Por supuesto, ese optimista pronto tendría que contar con extensiones no normales y ver cómo su sueño de una correspondencia completamente universal se iba al traste, pero c'est la vie .