Evalúe $\int_{-\infty}^\infty\frac{x}{\sin^2(\sqrt{x})\sinh^2\left(2\sqrt{2x}\right)+\pi^2\cos^2(\sqrt{x})\cosh^2\left(2\sqrt{2x}\right)}\mathrm dx$

Question

Me encontré con una integral asombrosa (comprobada numéricamente):

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{x\ \mathrm dx}{\sin ^2(\sqrt{x}) \sinh ^2(2 \sqrt{2 x})+\pi ^2 \cos ^2(\sqrt{x}) \cosh ^2(2 \sqrt{2 x})}\\ \small =-\frac{1}{262144 \pi ^3}\left(18 \sqrt{2}+4 \sqrt{34 \sqrt{2}+46}+13\right) \Gamma \left(\frac{1}{8}\right)^4 \Gamma \left(\frac{3}{8}\right)^4$$

¿Qué técnica debe utilizarse para establecerla? Los factores gamma sugieren que Valores singulares elípticos pueden estar implicados. Agradeceremos cualquier ayuda.