El hecho de que se pueda pensar, vía restricción, en un funcional en $E'$ como funcional en $X$ , no significa que haya una inclusión $E'\subset X'$ . Esto se puede ver muy fácilmente en los ejemplos.
Por ejemplo $E=\mathbb C^2$ y $X=\{(a,0):\ a\in\mathbb C\}$ . Entonces $E'=\mathbb C^2$ , donde se piensa en $(c,d)$ como el funcional $\langle (c,d),(a,b)\rangle=ac+bd$ y $X'=\mathbb C$ . Así que aquí $\dim E'=2$ , $\dim X'=1$ .
Incluso cuando ambos $X\subset E$ son de dimensión infinita, la inclusión $E'\subset X'$ a menudo no tiene sentido. Por ejemplo $E=\ell^2(\mathbb N)$ y $$X=\{f\in E:\ f(1)=0\}.$$ Consideremos ahora $\phi,\psi\in E'$ viene dada por $$ \phi(f)=f(1),\qquad \psi(f)=2f(1). $$ Ambos $\phi$ y $\psi$ que son distintos, son cero cuando se restringen a $X$ . ¿En qué sentido quiere verlos como elementos distintos en $X'$ ? Por supuesto que se puede crear una inclusión artificial (después de todo, en este ejemplo $E=X=E'=X'=\ell^2(\mathbb N)$ ), pero de lo que se trata es de tener una inclusión que sea canónica, en la que los funcionales se consideren funcionales.
Para un ejemplo más brutal, veamos $E=\ell^\infty(\mathbb N)$ y $X=c_0$ el espacio de las secuencias que convergen a cero. Entonces $X'=\ell^1(\mathbb N)$ que es separable, mientras que $E'$ no es separable, ya que $E$ no lo es. Así que no hay inclusión posible $E'\subset X'$ como espacios normados, ni siquiera artificiales.
