Fórmula explícita para la fórmula recursiva de una integral

Question

He estado intentando encontrar una fórmula explícita para la integral $\displaystyle I_n= \frac{1}{e}\int_0^1 e^xx^{n-1}\, dx = 1-(n-1)I_{n-1},n=2,3,4,..., I_1=1-\frac{1}{e}$

En primer lugar, intenté construir un $2\times2$ matriz y ver si se puede diagonalizar, pero parece que no podemos hacerlo ya que $I_n$ depende sólo del término anterior y no de los dos términos anteriores.

Entonces, intenté ver si puede haber una fórmula explícita fácilmente identificable que establezca los primeros términos como tales: \begin{array}\\I_n:&&1-\frac{1}{e},&&\frac{1}{e},&&1-\frac{2}{e},&&-2+\frac{6}{e},&&9-\frac{24}{e},&&-44+\frac{95}{e} \end{array}

Pero no puedo encontrar ninguna correlación entre $n$ y $I_n$ .

Gracias de antemano.

Answer 1

SUGERENCIA: utilizando la integración por partes tenemos que

$$I_n=\int x^n e^x\mathrm dx=x^ne^x-n\int x^{n-1}e^x\mathrm dx=\ldots=e^x\sum_{k=0}^n(-1)^{k}x^{n-k}n^\underline k$$

donde $n^\underline k$ es un factorial decreciente. Entonces tenemos la recursión

$$I_n=x^ne^x-nI_{n-1}$$

P.D.: la suma anterior no parece cerrable en su configuración general (comprobándolo en mathematica tiene la forma de una función gamma incompleta cuando $x>0$ ) pero probablemente se pueda obtener una expresión cerrada para alguna integral definida.

Answer 2

Recuerda lo siguiente:

$$\int_0^1 e^{xt}\ dx=\frac{e^t-1}{t}$$

De ello se deduce que

$$\int_0^1xe^{xt}\ dx=\frac d{dt}\frac{e^t-1}{t}$$

$$\int_0^1x^2e^{xt}\ dx=\frac{d^2}{dt^2}\frac{e^t-1}{t}$$

$$\int_0^1x^ne^{xt}\ dx=\frac{d^n}{dt^n}\frac{e^t-1}{t}$$

Aplicando Regla de Leibniz para la enésima derivada de un producto,

$$\frac{d^n}{dt^n}\frac{e^t}{t}-\frac1t=\frac{(-1)^{n+1}n!}{t^{n+1}}+e^t\sum_{k=0}^n\binom nk\frac{(-1)^kk!}{t^{k+1}}$$

Y en $t=1$ obtenemos

$$\int_0^1x^ne^x\ dx=(-1)^{n+1}n!+e\sum_{k=0}^n\binom nk(-1)^kk!$$