Demostrar que $\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n}$ es irracional.

Question

Sea $$S= \sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{n^n}$$

(¿Alguien conoce una expresión de forma cerrada para $S$ ?)

Es fácil demostrar que la serie converge.

Demostrar que $S$ es irracional.

Probé el tipo de técnica que funciona para demostrar $e$ es irracional, pero se atascó.

Answer 1

No pude imitar la prueba de irracionalidad de $e$ pero aquí va mi intento ...

Para demostrar la irracionalidad de $S=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n!}{n^n}$ bastaría con encontrar una expansión de fracción continua infinita. Por comodidad, estoy redefiniendo $S$ añadiendo un término 0 igual a uno $\frac{0!}{0^0}:=1$

Primero escribimos $S$ de la forma $S=\sum_{n=0}^{\infty} a_0 \cdot a_1 \cdot a_2 \cdots a_n $ . Si calculamos el cociente de dos términos consecutivos en la definición original de $S$ encontramos que, para $n\ge 2$ $$\frac{\frac{n!}{n^n}}{\frac{(n-1)!}{(n-1)^{n-1}}}=(1-\frac{1}{n})^{n-1}$$

Así que podemos escribir $$\frac{n!}{n^n}=(1-\frac{1}{n})^{n-1} \cdot (1-\frac{1}{n-1})^{n-2} \cdots (1-\frac{1}{2})^1$$

Configurar $a_0:=1, a_1:=1$ y $a_n=(1-\frac{1}{n})^{n-1}$ para $n\ge 2$ encontramos que $$ S=\sum_{n=0}^{\infty} a_0 \cdot a_1 \cdot a_2 \cdots a_n $$ Ahora hacemos uso de la fórmula de la fracción continua de Euler: $$a_0 + a_0a_1 + a_0a_1a_2 + \cdots + a_0a_1a_2\cdots a_n = \cfrac{a_0}{1 - \cfrac{a_1}{1 + a_1 - \cfrac{a_2}{1 + a_2 - \cfrac{\ddots}{\ddots \cfrac{a_{n-1}}{1 + a_{n-1} - \cfrac{a_n}{1 + a_n}}}}}}\,$$

Pero esto todavía no es una fracción continuada adecuada $b_0 + \cfrac{1}{b_1 + \cfrac{1}{b_2 + \cfrac{1}{ \ddots + \cfrac{1}{b_n} }}}$ y no podemos hacer uso del resultado de irracionalidad expuesto anteriormente.

Podemos aplicar una transformación de equivalencia: $$\cfrac{x_1}{y_1 + \cfrac{x_2}{y_2 + \cfrac{x_3}{y_3 + \cfrac{x_4}{y_4 + \ddots\,}}}} = \cfrac{z_1x_1}{z_1y_1 + \cfrac{z_1z_2x_2}{z_2z_2 + \cfrac{z_2z_3x_3}{z_3z_3 + \cfrac{z_3z_4x_4}{z_4z_4 + \ddots\,}}}}$$ (que se cumple si todas las x, y y z son distintas de cero)

estableciendo $x_1:=a_0,y_1=1$ y, para $n \ge 1$ $x_n:= -a_{n-1}, y_n:=1+a_{n-1}$ y eligiendo que la secuencia de z's satisfaga la relación $z_{n+1}=\frac{1}{x_{n+1} z_n}$ .

Así, al final obtenemos una expansión de fracción continua propia infinita.

Espero que esto ayude.