espacios "endebles": eliminar cualquier $n$ puntos da lugar a la desconexión

Question

Considere la siguiente propiedad:

$\mathbb R$ es un espacio conexo, pero $\mathbb R\setminus \{p\}$ está desconectado para cada $p\in \mathbb R$ .

$S^1$ es un espacio conexo y si eliminamos cualquier punto, sigue siendo conexo. Pero si eliminamos dos puntos arbitrarios $p$ y $q$ el resultado $S^1 \setminus \{p,q\}$ está desconectado.

Sea $X$ sea un espacio topológico. Llamemos $X$ ser $n$ -flimsy si se quitan menos entonces $n$ puntos arbitrarios deja el espacio conectado y eliminar cualquier $n$ puntos arbitrarios (distintos) desconecta el espacio.

Vimos que $\mathbb R$ es $1$ -endeble y $S^1$ es $2$ -flimsy (as $S^1 \setminus \{*\} \cong \mathbb R$ ).

Pregunta: ¿Existe una $3$ -¿espacio endeble?

Así que estoy buscando un espacio $X$ tal que la eliminación de cualquier $3$ puntos desconecta el espacio, pero menos no.

Sospecho que no existe tal espacio. Pensé que podría demostrarlo mostrando primero, que $1$ - o $2$ -espacios endebles son de alguna manera únicos, pero encontré muchos ejemplos de $1$ -espacios muy diferentes (la línea larga, una variante del seno topológico, los árboles).

Alternativamente: ¿Existe una terminología estándar para esta propiedad? (definitivamente 'se siente' como $n$ -conectividad en teoría de grafos)

Anexo 1: Un espacio $X=\{x,y\}$ con dos puntos es trivial $3$ -Ejemplo endeble, ya que no podemos eliminar tres puntos distintos. Por supuesto, me interesan los ejemplos reales.

Anexo 2: Dado que Qiaochu Yuan y Paul Frost argumentaron que los complejos CW no funcionan, he aquí algunas reflexiones sobre el caso finito:

Sea $(X,T)$ sea un espacio topológico con $X$ . Entonces $T$ es automáticamente un Topología de Alexandrov y por lo tanto tiene el Prepedido de especialización $\prec$ . Si tenemos un componente conectado $Z(x)$ de un punto $x$ en un espacio finito con topología de Alexandrov, entonces $Z(x)$ y su complemento son cerrados y abiertos, por lo que son cerrados hacia abajo. Si visualizamos $(X,T)$ mediante el gráfico $G$ que tiene $X$ como vértices y dos vértices $v,w$ están conectados si $v\prec w$ o $w \prec v$ entonces los componentes conectados en $T$ se refieren a componentes conectados del grafo. La eliminación de un punto en $X$ corresponde a la supresión del vértice correspondiente.

Reclamación : No hay ningún $1$ -espacio endeble (sin tener en cuenta los ejemplos triviales anteriores). De lo contrario, tenemos un grafo en el que la eliminación de cualquier vértice da lugar a un grafo desconectado. Este grafo no puede ser finito.

Corolario : No existen $n$ -espacios de flimy para $n\in \mathbb N$ (sin tener en cuenta los ejemplos triviales anteriores). La eliminación de un punto da como resultado un $n-1$ -espacio endeble, que no puede existir (inducción).

Sigue abierto : ¿Existen $3$ -¿espacios endebles? Deberían ser infinitos y no deberían ser homeomorfos a complejos CW.

Anexo 3: Funfact : Todo espacio topológico puede incrustarse en un $1$ -espacio endeble. Basta con añadir una línea real a cada punto (como unión de un punto). Como alternativa, añada $1$ -esferas a cada punto. A continuación, añada $1$ -esferas a cada nuevo punto. Continúa así durante toda la eternidad.

Anexo 4: En el escenario del libro de Whyburn Topología analítica se demuestra que un conjunto compacto no puede ser $1$ -(capítulo 3, teorema 6.1). Dado que todos mis ejemplos para $1$ -los espacios endebles no son compactos: ¿Hay algún ejemplo de un espacio compacto $1$ -¿espacio endeble? ¿Son todos $n$ -¿espacios no compactos (al menos son infinitos)?

Answer 1

He aquí una proposición que creo que ayudará al menos a averiguar si una $3$ -existe el espacio path-flimsy. Un $n$ -sería un espacio tal que la eliminación de menos de $n$ puntos mantendría el espacio conectado a la ruta, pero la eliminación de cualquier $n$ puntos haría que el espacio no estuviera conectado por trayectorias.

Propuesta A: Sea $X$ ser un $2$ -trayecto-espacio y $x\in X$ . Entonces, para cualquier vecindad abierta conectada por trayectorias $N$ de $x$ tal que $X\setminus N$ también está conectado por caminos, el espacio $N\setminus\{x\}$ tiene como máximo dos componentes conectadas por caminos.

Prueba de la proposición A: La prueba es por contradicción. Supongamos por el contrario que existe $x\in X$ con un vecindario abierto conectado por caminos $N$ tal que $X\setminus N$ también está conectado por caminos, y el espacio $N\setminus\{x\}$ tiene tres componentes distintos conectados por trayectorias $C_1$ , $C_2$ y $C_3$ . Sea $c_i\in C_i$ . Desde $X$ es $2$ -camino-flimsy, el espacio $X\setminus\{x\}$ está conectada por un camino, por lo que $N\neq X$ por lo que podemos encontrar $p\in X\setminus N$ .

Arreglar algunos $1\leq i\leq3$ . Desde $N$ está conectado por caminos, se deduce que el conjunto $C_i\cup\{x\}$ está conectada por un camino. Esto se debe a que existe un camino desde $x$ a $c_i$ en $N$ y podemos deducir que en el último momento el camino no estaba en $C_i$ Debe haber sido en $x$ por la definición de componente conectado a la trayectoria. Por un razonamiento similar, encontramos que $C_i\cup(X\setminus N)$ está conectada por un camino.

Desde $C_i$ es un componente de $N\setminus\{x\}$ cualquier camino que salga de $C_i$ debe pasar por $X\setminus(N\setminus\{x\})=\{x\}\cup(X\setminus N)$ primero. Dado que $X$ es $2$ -ruta-flimsy, $X\setminus\{c_i\}$ está conectado por un camino, por lo que desde cualquier $c\in C_i$ hay un camino que sale de $C_i$ . Podemos concluir que existe un camino desde $c$ a $x$ en $C_i\cup\{x\}$ o hay un camino desde $c$ a $p$ en $C_i\cup(X\setminus N)$ .

Ahora podemos concluir que $X\setminus\{c_1,c_2\}$ está conectado por un camino, lo que contradice el hecho de que $X$ es $2$ -y termina la prueba de la Proposición A. Esto se debe a que cada punto está conectado por un camino a $x$ o $p$ y $c_3$ está conectado a ambos.