Las operaciones del campo de cociente están bien definidas: ampliando el esquema de Vinberg

Question

Sea $A$ sea un dominio integral no trivial. Definir la relación $\sim$ en el conjunto de pares $A \times A\setminus\{0_A\}$ como sigue:

$$(a_1,b_1) \sim (a_2,b_2) \overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow} a_1b_2=a_2b_1.$$

Resulta que $\sim$ es una relación de equivalencia en $A \times A\setminus\{0_A\}$ . El procedimiento de suma y multiplicación se define del siguiente modo.

$$(a_1,b_1)+(a_2,b_2) \overset{\text{def}}{=} (a_1b_2+a_2b_1,b_1b_2)\\(a_1,b_1)\cdot(a_2,b_2)\overset{\text{def}}{=}(a_1a_2,b_1b_2).$$

Si se desea definir tales operaciones de forma similar sobre el conjunto de clases de equivalencia mediante $\sim$ es decir, en el conjunto $(A \times A\setminus\{0_A\})/\!\sim$ hay que demostrar que las operaciones concuerdan con la relación $\sim$ . En otras palabras, hay que demostrar que estos procedimientos dan una función bien definida, que no depende de la elección del representante de una clase de equivalencia.

He aquí cómo I demostraría el resultado en el caso de la suma.

Sea $(a,b)\sim(a_1,b_1)$ y $(c,d) \sim (c_1,d_1)$ sean cualesquiera pares de $A \times A\setminus\{0_A\}$ . Tenemos que demostrar que $(a,b)+(c,d)$ es $\sim$ -equivalente a $(a_1,b_1)+(c_1,d_1)$ es decir $(ad+bc)b_1d_1 = (a_1d_1+b_1c_1)bd.$

Por lo tanto, observe la expresión $E:=(ad+bc) b_1d_1$ . Utilización de la distributividad en $A$ tenemos $E=(ad)b_1d_1+(bc)b_1d_1$ . Utilizando la conmutatividad (y asociatividad) de la multiplicación, $E=(ab_1)dd_1+(cd_1)bb_1$ . Pero porque $(a,b)\sim(a_1,b_1)$ y $(c,d) \sim (c_1,d_1)$ podemos sustituir $ab_1=a_1b$ y $cd_1=c_1d$ . Por lo tanto, $E=(a_1b)dd_1+(c_1d)bb_1$ . De nuevo a través de la distributividad (y conmutatividad, asociatividad), finalmente $E=(a_1d_1+b_1c_1)bd$ . QED

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Así lo hace E. B. Vinberg en Curso de álgebra página 130.

Define ahora la suma y la multiplicación de pares mediante las siguientes reglas: $$(a_1,b_1)+(a_2,b_2) = (a_1b_2+a_2b_1,b_1b_2)\\(a_1,b_1)(a_2,b_2)=(a_1a_2,b_1b_2).$$ Demostraremos que la relación de equivalencia definida anteriormente concuerda con estas operaciones. Por la discusión precedente , basta con demostrar que cuando multiplicamos las dos entradas de uno de los pares $(a_1,b_1)$ o $(a_2,b_2)$ por el mismo elemento $c$ su suma y su producto se sustituyen por pares equivalentes. Pero está claro que cuando hacemos esto, ambas entradas en la suma y el producto se multiplican por $c$ .

(El subrayado es mío).

Q: ¿Por qué basta con demostrar ¿Sólo lo que dice Vinberg?

Para enfatizar, "la discusión precedente" se cita en cualquiera de los dos mi pregunta anterior en los recuadros de cita amarillos, o aquí en este post. Se mantiene el orden del libro. He pensado que no sería buena idea volver a citar aquí el pasaje completo debido a su longitud. Por supuesto, estoy dispuesto a hacerlo si es necesario; en tal caso, por favor, deje un comentario apropiado.

Answer 1

Vinberg define implícitamente una relación que llamaremos $\sim_1:$

$(a_1,b_1)\sim_1 (a_2,b_2)$ si $\exists c\in A\setminus \{0\}$ tal que $a_1c=a_2,b_1c=b_2.$

No se trata de una relación de equivalencia. ( $\sim_1$ es en realidad un pre-order .)

Vinberg muestra en el debate anterior que $\sim_1$ tiene la propiedad:

Lema 1: Si $(a_1,b_1)\sim_1(a_2,b_2)$ entonces $(a_1,b_1)\sim (a_2,b_2)$

y también la propiedad:

Lema 2: $(a_1,b_1)\sim (a_2,b_2)$ si y sólo si existe $(a_3,b_3)$ tal que $(a_1,b_1)\sim_1 (a_3,b_3)$ y $(a_2,b_2)\sim_1 (a_3,b_3).$

Esas dos propiedades son la clave.

Ahora Vinberg dice que sólo necesitamos mostrar:

Lema 3: Para $p\sim_1 p_1$ y cualquier $q$ t $$\begin{align}p+q&\sim p_1+q\text{ and }\\ q+p&\sim q+p_1\end{align}\tag{1}$$

y lo mismo para la multiplicación.

A partir del Lemma 3 demostramos el caso general:

Teorema: Si $p\sim p_1$ y $q\sim q_1$ entonces $p+q\sim p_1+q_1.$

Prueba: Por el Lemma 2, debe haber $p_2,q_2$ tal que $p\sim_1 p_2, p_1\sim_1 p_2, q\sim_1 q_2, q_1\sim_1 q_2.$

T $$p+q\sim p_2+q\sim p_2+q_2$$ por (1), por lo que $p+q\sim p_2+q_2.$

Asimismo, tenemos $p_1+q_1\sim p_2+q_2.$

Así lo hemos demostrado: $p+q\sim p_1+q_1.$

Lo mismo ocurre con la multiplicación.

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Es más fácil mostrar la afirmación más fuerte:

Para $p\sim_1 p_1$ y cualquier $q$ , $$\begin{align}p+q&\sim_1 p_1+q\text{ and }\\ q+p&\sim_1 q+p_1,\end{align}\tag{1'}$$

y luego deducir el Lemma 3 de (1') utilizando el Lemma 1.