Cuerda tendida sobre la mesa y colgando por un agujero

Question

En la Mecánica de Kleppner, hay un problema dado como

Una cuerda de masa $M$ y longitud $l$ descansa sobre una mesa sin fricción, con una porción corta, $l_0$ colgando a través de un agujero. Inicialmente la cuerda está en reposo.
Halla la ecuación general de la longitud de la cuerda que cuelga por el agujero.

En la solución, el problema se resuelve utilizando la ecuación de momento dada como-.
Supongamos que en el momento $t$ , $x$ longitud de la madurez está colgando
Momento inicial en el tiempo t, $P_t$ = $Mv$
Momento en el tiempo $t+dt$ , $P(t+dt) = M(v+dv)$
Tasa de cambio del momento = $Mdv/dt$
dp/dt = Fuerza sobre la cuerda
$Mdv/dt = Mxg/l$
Entonces podemos resolver la expresión para $x$ .

La cuestión es que mientras la cuerda cuelga de la mesa la parte que cuelga se mueve con velocidad $v$ en dirección descendente y la parte que descansa sobre la mesa se mueve con velocidad $v$ en dirección horizontal y la fuerza del peso de la parte colgante actúa en dirección descendente.
Entonces como escribimos el momento de la cuerda como $Mv$ y $M(v+dv)$ ¿la velocidad no debería incluir componentes x e y separados en la velocidad?

¿Cómo escribimos el momento inicial y final de la cuerda en notación vectorial?

¿Cómo escribimos el momento de la cuerda entera utilizando una única velocidad en un componente y (sin incluir el componente x) y equiparamos el cambio de momento a la fuerza descendente del peso?

Por favor, explíquelo.

Answer 1

Demostraré cómo considerando componentes horizontales y verticales del momento se obtiene el mismo resultado.

Sea la masa de la parte horizontal $m_1$ la masa de la parte colgante sea $m_2$ la tensión en la cuerda sea T, y la densidad lineal de la masa sea $\lambda$

$F_x = m_1 \frac {dv}{dt} + v \frac {dm_1}{dt} = T$

$\therefore m_1a-v^2\lambda=T$    $\therefore v^2\lambda=m_1 a-T$

$F_y = m_2 \frac {dv}{dt} + v \frac {dm_2}{dt} = m_2g-T$

$\therefore m_2a+v^2\lambda=m_2g-T$

$\therefore m_2a+m_1a-T=m_2g-T$

$\therefore Ma=m_2g$

También puede utilizar $ m_2x=Ml$ para obtener el mismo resultado que el de su libro. Sin embargo, el método utilizado en el libro es mucho más corto y más fácil.

Answer 2

La caída de cadenas y cuerdas son problemas notoriamente difíciles con una larga y controvertida literatura que se remonta a Tait y Cayley en el siglo XIX. Recomiendo empezar con el artículo que aparece a continuación. Si obtienes una respuesta diferente a la de tu libro de texto, puede que estés escribiendo y el libro equivocado.

Artículo:

Una explicación uniforme de todos los fenómenos de caída en cadena

Mark Denny

American Journal of Physics 88, 94 (2020); https://doi.org/10.1119/10.0000304

Me temo que podría estar detrás de un muro de pago.