¿Es posible obtener todas las sumas posibles con la misma probabilidad si tiro dos dados injustos juntos?

Question

Lanzo 2 dados injustos, supongamos que $p_i$ es la probabilidad de que el primer dado pueda dar un $i$ si lo tiro, por $i =1,2,3,..6$ y $q_i$ la probabilidad de que el segundo dado pueda dar un $i$ . Si tiro los dados juntos, ¿es posible obtener todas las sumas posibles $2,3,4,...12$ con la misma probabilidad?

Esto es lo que he probado hasta ahora, la probabilidad de que obtenga un $2$ si tiro los dos dados es $p_1q_1$ la probabilidad de que obtenga $3$ es $p_1q_2+p_2q_1$ y, en general, la probabilidad de que obtenga $n$ es $$\sum_{i+j=n} p_iq_j$$ donde $i=1,2,...6$ , $j=1,2,...6$ .

Así que ahora para que todas las sumas posibles aparezcan con la misma probabilidad, debe ser cierto que $$p_1q_1=p_1q_2+p_2q_1$$ $$p_1q_2+p_2q_1=p_1q_3+p_2q_2+p_3q_1$$ $$........$$ tiene una solución, aquí es donde estoy atascado no puedo encontrar una manera de demostrar que el sistema anterior tiene una solución, ¿puedes ayudar?

Answer 1

Se trata de un problema clásico. Sin cambiar el problema, podemos dejar que los dígitos de los dados sean $0, \ldots, 5$ en lugar de $1, \ldots, 6$ para facilitar nuestra notación. Ahora hacemos dos polinomios: $$ P(x) = \sum_{i=0}^5 p_ix^i,\qquad Q(x) = \sum_{i=0}^5q_ix^i. $$ Ahora podemos resumir su condición en $p_i, q_i$ se cumple si y sólo si $$ P(x)Q(x) = \frac1{11}\sum_{i=0}^{10} x^i. $$ Multipliquemos ambos lados por $11 \times (x-1)$ y se obtiene $$ 11(x-1)P(x)Q(x) = x^{11} - 1. $$ Los 11 ceros del polinomio de la derecha son las raíces 11 de la unidad, lo que significa que también son los ceros del polinomio de la izquierda. El término $(x-1)$ se encarga de uno de los ceros, y como $P, Q$ son ambas de grado 5, lo que significa que cada una tiene que tener 5 de los otros 10 ceros.

Pero ahora nota: además de $1$ todas las raíces 11 de la unidad son números complejos, mientras que $P, Q$ son polinomios reales. Si un número complejo es la raíz de un polinomio real, también lo es su conjugado complejo. Esto significa que $P, Q$ deben tener cada uno un número par de ceros complejos, pero acabamos de demostrar que también tienen que tener 5 cada uno.

Hemos llegado a una contradicción: tal $P, Q$ y, por tanto, tales distribuciones $p_i, q_i$ no existen.

Answer 2

Tomemos un sistema más sencillo. Hay 2 resultados para 2 monedas $\{C_1,C_2\}$ - $\{1,2\}$ con probabilidades $p_1,p_2$ para $C_1$ y $q_1,q_2$ para $C_2$ .

Condición dada: probabilidad tras 2 lanzamientos de moneda de que la suma sea $\{2,3,4\}$ es el mismo.

Pregunta: ¿Puedes encontrar algunos $p_1,p_2,q_1,q_2$ que satisface la condición?

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En este la condición dada es $p_1q_1 = p_1q_2 + p_2q_1 = p_2q_2 -(G)$ . Pero también tenemos las condiciones implícitas: $p_1 + p_2 = 1-(eq1)$ , $q_1+q_2 = 1-(eq2)$ . Consideremos la primera y tercera expresiones de la condición dada (G). \begin{align*} p_1 q_1 &= p_2q_2\\ p_1 q_1 &= (1-p_1)(1-q_1)\\ p_1 q_1 &= 1-p_1-q_1+p_1q_1\\ p_1+q_1 &= 1\tag{eq3}\\ p_2+q_2 &= 1\tag{eq4}\\ \end{align*} Comparando las ecuaciones (eq1) y (eq3) y (eq1) y (eq4), obtenemos $p_2 = q_1$ y $p_1 = q_2$ .

Finalmente a partir de las dos primeras igualdades de la condición dada, tenemos: \begin{align*} p_1q_1 &= p_1q_2 + p_2q_1\\ p_1p_2 &= p_1p_1 + p_2p_2\\ -p_1p_2 &= p_1^2 + p_2^2 - 2p_1p_2\\ -p_1p_2 &= (p_1 - p_2)^2\\ \end{align*} Ahora tenemos una contradicción ya que el lado izquierdo es $-ve$ y el lado derecho es $+ve$

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Dado que no podemos encontrar una solución para este sistema más simple, con sólo 2 igualdades, es bastante improbable que se encuentre una solución para el sistema de dado más complicado con $\binom{6}{2}$ igualdad existe.

Nota: Por supuesto, esto no es una prueba de que no exista solución para el sistema de troqueles.

Answer 3

Si quieres generar números del 1 al 12 con probabilidad uniforme, es posible reetiquetando las caras de los dados justos. Un dado tiene las caras etiquetadas del 1 al 6. El otro tiene las caras etiquetadas -2, 0, 2, 4, 6, 8. El otro tiene las caras marcadas con -2, 0, 2, 4, 6, 8. Si el total no está entre 1 y 12, vuelva a tirar. Se trata de una técnica de aceptación-rechazo.

Además, existe un teorema en la teoría de la probabilidad según el cual cualquier probabilidad deseada puede construirse mediante una secuencia de ensayos de Bernoulli (lanzamientos de monedas). Simule lanzamientos de monedas haciendo que las caras de un dado sean 0, 0, 0, 1, 1, 1, otro dado con caras 0, 0, 0, 2, 2, 2, un tercer dado con caras 0 y 4, y un cuarto dado con caras 0 y 8. Tirará de 0 a 15 con la misma probabilidad. Tirará del 0 al 15 con la misma probabilidad, y volverá a tirar si su número no está entre el 1 y el 12. Otro método de aceptación-rechazo, con dados que simulan monedas.

Perdonen mi enfoque "ingenieril"; no puedo evitarlo.