Desigualdad relacionada con la función de distribución normal estándar

Question

Quiero demostrar que

$$ 2\Phi(x)^2 - \Phi(2x) \geq 0 $$ para todos $x<0$ donde $\Phi$ es una función de distribución acumulativa de $N(0,1)$ .

Estoy bastante seguro de que esto se sostiene ya que lo he comprobado con numerosos $x$ 's, pero estoy luchando para probarlo.
He intentado diferenciarlo, pero parece que no funciona, al menos dentro de mis posibilidades. ¿Alguien podría ayudarme? Gracias.

Answer 1

Para todos $x<0$ , $$\Phi(x):=\int_{-\infty}^x\frac{\mathrm e^{-\frac{t^2}2}}{\sqrt{2\pi}}\,\mathrm dt\le\int_{-\infty}^x\frac{t\,\mathrm e^{-\frac{t^2}2}}{x\sqrt{2\pi}}\,\mathrm dt=-\frac{\Phi'(x)}{x}.$$ Desde $\Phi''(x)=-x\Phi'(x)$ lo que implica la desigualdad funcional $\Phi''\Phi\le\Phi'^2$ en $(-\infty,0]$ lo que significa que $\log\Phi$ es cóncava en este intervalo (tenemos $(\log\Phi)''=\frac{\Phi''\Phi-\Phi'^2}{\Phi^2}\le0$ allí). Así, para $x<0$ , $$\log\Phi(x)=\log\Phi\!\left(\frac12\cdot2x+\frac12\cdot0\right)\ge\frac12\,\log\Phi(2x)+\frac12\,\log\Phi(0)=\frac12\,\log\frac{\Phi(2x)}2.$$ Multiplicar por $2$ y tomando la exponencial se obtiene $2\Phi(x)^2-\Phi(2x)\ge0$ .