Como ha señalado Glen_b, si los autobuses llegan cada $15$ minutos sin incertidumbre alguna sabemos que el máximo posible el tiempo de espera es $15$ minutos. Si por nuestra parte llegamos "al azar", pensamos que "de media" esperaremos la mitad del tiempo máximo de espera posible . Y el tiempo de espera máximo posible es aquí igual a la duración máxima posible entre dos llegadas consecutivas. Denotemos nuestro tiempo de espera $W$ y la longitud máxima entre dos llegadas consecutivas de autobuses $R$ y sostenemos que
$$ E(W) = \frac 12 R = \frac {15}{2} = 7.5 \tag{1}$$
y tenemos razón.
Pero de repente se nos quita la certeza y se nos dice que $15$ minutos es ahora el media longitud entre dos llegadas de autobús. Y caemos en la "trampa del pensamiento intuitivo" y pensamos: "sólo tenemos que sustituir $R$ con su valor esperado", y argumentamos
$$ E(W) = \frac 12 E(R) = \frac {15}{2} = 7.5\;\;\; \text{WRONG} \tag{2}$$
Un primer indicio de que estamos equivocados, es que $R$ est no "longitud entre dos llegadas consecutivas de autobús", es " máximo longitud, etc.". En cualquier caso, tenemos que $E(R) \neq 15$ .
¿Cómo llegamos a la ecuación $(1)$ ? Pensamos: "el tiempo de espera puede ser de $0$ a $15$ máximo . Llego con igual probabilidad a cualquier instancia, por lo que "elijo" aleatoriamente y con igual probabilidad todos los tiempos de espera posibles. Por lo tanto, la mitad de la duración máxima entre dos llegadas consecutivas de autobús es mi tiempo medio de espera". Y estamos en lo cierto.
Pero al insertar por error el valor $15$ en la ecuación $(2)$ ya no refleja nuestro comportamiento. Con $15$ en lugar de $E(R)$ ecuación $(2)$ dice "Elijo al azar y con igual probabilidad todos los tiempos de espera posibles que sean inferiores o iguales a la longitud media entre dos llegadas consecutivas de autobuses " -y aquí es donde radica nuestro error intuitivo, porque, nuestro comportamiento no ha cambiado -por lo que, al llegar aleatoriamente de forma uniforme, en realidad seguimos "eligiendo aleatoriamente y con igual probabilidad" todos los tiempos de espera posibles -pero "todos los tiempos de espera posibles" es no capturado por $15$ - hemos olvidado la cola derecha de la distribución de longitudes entre dos llegadas consecutivas de autobuses.
Por lo tanto, quizás deberíamos calcular el valor esperado de la longitud máxima entre dos llegadas consecutivas de autobús, ¿es ésta la solución correcta?
Sí, podría ser, pero la "paradoja" específica va de la mano de un supuesto estocástico específico: que las llegadas de autobuses se modelan mediante el proceso de Poisson de referencia, lo que significa que, como consecuencia, suponemos que el tiempo transcurrido entre dos llegadas de autobús consecutivas sigue una distribución exponencial. Denotemos $\ell$ esa longitud, y tenemos que
$$f_{\ell}(\ell) = \lambda e^{-\lambda \ell},\;\; \lambda = 1/15,\;\; E(\ell) = 15$$
Por supuesto, esto es aproximado, ya que la distribución exponencial tiene un soporte ilimitado por la derecha, lo que significa que, en sentido estricto, "todos los tiempos de espera posibles" incluyen, bajo este supuesto de modelización, magnitudes mayores y mayores hasta e "incluyendo" el infinito, pero con probabilidad de desvanecimiento.
Pero espera, el Exponencial es sin memoria no importa en qué momento nosotros llegará, nos enfrentamos a la misma variable aleatoria independientemente de lo que haya pasado antes.
Dado este supuesto estocástico/distributivo, en cualquier momento forma parte de un "intervalo entre dos llegadas consecutivas de autobuses" cuya longitud está descrita por la misma distribución de probabilidad con valor esperado (no valor máximo) $15$ : "Estoy aquí, me rodea un intervalo entre dos llegadas en autobús. Parte de su duración se sitúa en el pasado y parte en el futuro, pero no tengo forma de saber cuánto y cómo, así que lo mejor que puedo hacer es preguntar ¿Cuál es su duración prevista -que será mi tiempo medio de espera?". - Y la respuesta siempre es " $15$ ", por desgracia.
