Demostrar que para todos los números naturales, $m$$n$, esta desigualdad se cumple: $$ \frac{1}{\sqrt[n]{1+m}} + \frac{1}{\sqrt[m]{1+n}} \ge 1 $$ He intentado utilizar la desigualdad de Bernoulli, pero no puedo averiguar.
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- Suma de radicales mayor que 1 (2 respuestas )
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La desigualdad se cumple si $mn=0$, por lo que podemos suponer $m,n\neq 0$ sin pérdida de generalidad.
Por el AM-GM de la desigualdad:
$$\sqrt[n]{1+m}\leq \frac{1+\ldots+1+(m+1)}{n} = 1+\frac{m}{n},$$ por lo tanto: $$ \frac{1}{\sqrt[n]{1+m}}+\frac{1}{\sqrt[m]{1+n}}\geq \frac{1}{1+\frac{m}{n}}+\frac{1}{1+\frac{n}{m}}=1.$$
Anthony Shaw
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El AM-GM de la desigualdad dice que para$x,y\ge0$$0\le a\le1$, $$ ax+(1-a)y\ge x^ay^{1}\etiqueta{1} $$ sustituyendo $x\mapsto x/a$ $y\mapsto y/(1-a)$ rendimientos $$ x+y\ge\frac{x^ay^{1}}{a^a(1-a)^{1}}\etiqueta{2} $$ Por lo tanto, con $x=(m+1)^{-1/n}$, $y=(n+1)^{-1/m}$, y $a=\frac n{m+n}$, obtenemos $$ \begin{align} (m+1)^{-1/n}+(n+1)^{-1/m} &\ge\frac{[(m+1)(n+1)]^{-\frac1{m+n}}}{\left(\frac m{m+n}\right)^{\frac m{m+n}}\left(\frac n{m+n}\right)^{\frac n{m+n}}}\\[6pt] &=\frac{m+n}{\left[(m+1)m^m(n+1)n^n\right]^{\frac1{m+n}}}\\[12pt] &\ge1\tag{3} \end{align} $$
El último paso en $(3)$ es equivalente a $$ (m+n)^{m+n}\ge(m+1)(n+1)m^mn^n\etiqueta{4} $$ Tenga en cuenta que $(4)$ es cierto cuando se $m=n=1$. Supongamos que $(4)$ es cierto para algunos $m,n$, $m$ o $n$ es mayor por $1$, el lado izquierdo de $(4)$ aumenta por un factor de $$ \frac{(m+n+1)^{m+n+1}}{(m+n)^{m+n}} =\color{#C00000}{(m+n+1)}\color{#00A000}{\left(1+\frac1{m+n}\right)^{m+n}}\etiqueta{5} $$ y si $n$ es mayor por $1$ (y lo mismo para $m$), el lado derecho de la $(4)$ aumenta por un factor de $$ \frac{(n+2)(n+1)^{n+1}}{(n+1)n^n} =\color{#C00000}{(n+2)}\color{#00A000}{\left(1+\frac1n\right)^n}\etiqueta{6} $$ Desde $m,n\ge1$,$\color{#C00000}{m+n+1\ge n+2}$, y la Desigualdad de Bernoulli se asegura de que $\color{#00A000}{\left(1+\frac1{m+n}\right)^{m+n}\ge\left(1+\frac1n\right)^n}$.
Comparando $(5)$ $(6)$ asegura que la desigualdad $(4)$ sigue siendo válida para todos los $m,n\ge1$.
Dmitriy Chasovskoy
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Si queremos cambiar un poco esta desigualdad tendremos:
$$ \sqrt[m \cdot n]{(1 + n )^n} + \sqrt[m \cdot n]{(1 + m)^m} \geq \sqrt[m \cdot n]{(1+n)^n \cdot (1+m)^m}$$
En la primera parte tendremos: $$ \sqrt[m \cdot n]{(1 + n )^n} + \sqrt[m \cdot n]{(1 + m)^m} \geq 1 + \frac{n}{m} + 1 + \frac{m}{n} = \frac{(m+n)^2}{m \cdot n}$$
De cola tenemos la desigualdad( el uso de este hecho de la Desigualdad de la aritmética y geométrica medios): $$ \sqrt[m \cdot n]{(1+n)^n \cdot (1+m)^m} \leq \frac{ n \cdot (1+n) + m \cdot ( 1 + m)}{m \cdot n} = \frac{(n+m)^2 - 2\cdot m \cdot n + m + n }{m \cdot n}$$
Como resultado tenemos: $ \frac{(n+m)^2 }{m \cdot n} \geq \frac{(n+m)^2 - 2\cdot m \cdot n + m + n }{m \cdot n}$ o $$ 2\cdot m \cdot n \geq m + n $$ that is true, because $m$ and $$ n son naturales.
