Tengo la siguiente serie de potencia compleja: $$\sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n!}}{n} $$ Su radio de convergencia es $R=1$ . Estoy tratando de investigar su comportamiento en la frontera ( $z$ tal que $|z|=1$ ). Es bastante fácil ver que la serie diverge en las raíces de la unidad, así que estoy buscando un punto en la frontera donde converge.
Intenté $z=e^{e \pi i}$ que, utilizando la identidad de Euler, me da: $$\sum_{n=1}^\infty \frac{z^{n!}}{n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{ie \pi n!}}{n}= \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(e \pi n!)}{n} + i \sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(e \pi n!)}{n}. $$ Estoy bastante seguro de que la primera serie del lado derecho converge ya que $\sin(e \pi n!)$ debe ser infinitesimal de orden 1 ya que $n \to \infty$ pero sospecho que la segunda serie diverge...
¿Alguna idea?
