Integral doble en coordenadas polares

Question

Calcula la siguiente integral doble utilizando coordenadas polares: $\iint_{D}^{}\frac{dxdy}{1+x^{2}+y^{2}}$

$D = \left \{(x,y) | 0\leq y\leq \sqrt{1-x^{2}} \right \}$

He empezado a resolver pero seguro que tengo errores.

La región es:

Y lo sé:

$x=r\cdot cos(\theta )$

y

$y=r\cdot sin(\theta )$

también

$x^{2}+y^{2}=r^{2}$

De la región se desprende que

$0\leq r\leq 1$

y

$0\leq \theta \leq \pi$

eso pensaba yo (y probablemente me equivoque):

$\iint_{}^{}\frac{1}{1+r^{2}}drd\theta =\theta \cdot arctan(\theta )$

Answer 1

Encontraste los límites correctamente pero te faltó el Jacobiano $r$ . Tenga en cuenta que $dx ~ dy = r ~ dr ~ d\theta ~$ al cambiar de coordenadas cartesianas a coordenadas polares con $x = r \cos\theta, y = r \sin\theta$ .

También es integral definida con $~0 \leq \theta \leq \pi~$ . Por lo tanto, la respuesta final no puede ser una función de $\theta$ . También cometiste algún error en la integral.

La integral correcta es,

$\displaystyle \int_0^{\pi} \int_0^1 \frac{r}{1+r^2} ~ dr ~ d\theta = \int_0^{\pi} \frac 12 \left[\ln(r^2 + 1)\right]_0^1 ~ d\theta$

$\displaystyle = \frac {\pi}{2} \cdot \ln2$