Encontrar todos los pares reales $(x,y)$ que satisfagan la ecuación $5x^2 + 5y^2 + 8xy + 2y - 2x + 2 = 0$

Question

Encontrar todos los pares reales $(x,y)$ que satisfagan la ecuación $$5x^2 + 5y^2 + 8xy + 2y - 2x + 2 = 0$$

Mi intento:

Pensé que podría resolverse factorizando todo para construir 2 ecuaciones diferentes $(e_1)(e_2) = 0$ Sin embargo, parece que la factorización no funciona demasiado bien:

La ecuación factorizada debe ser de la forma: $(ax+by+c)(lx+my+n)=0$ por lo que es posible crear un sistema de ecuaciones a partir de él:

$Al = 5$

$bm = 5$

$Am + bl = 8$

$An + cl = -2$

$bn + cm = 2$

$cn = 2$

Sin embargo, tras unas horas de trastear con él, no había encontrado ninguna solución. Fue entonces cuando empecé a preguntarme si tal vez estaba haciendo algo mal.

P.D. Se supone que el problema puede resolverlo un estudiante de bachillerato, no un licenciado en matemáticas.

Answer 1

Tenga en cuenta que:-

$$5x^2 + 5y^2 + 8xy + 2y - 2x + 2 = 0$$

puede escribirse como

$$(2x+2y)^2+(x-1)^2+(y+1)^2=0\space\space\space\space\space\space\space\space\text{[How?]}$$

Ahora,usa el hecho de que el cuadrado de cualquier número es no negativo.Así,la ecuación anterior sólo es posible cuando cada término al cuadrado es igual a $0$ ¡Ahora, resuelve!

Answer 2

Resolviendo esta ecuación para $y$ y obtenemos $$y=\frac{1}{5}\left(-1-4x\pm\sqrt{-1+2x-x^2}\right)$$ el radicando es $$-(1-2x+x^2)=-(x-1)^2$$ así obtenemos $$x=1$$ y $$y=-1$$