Las cofibraciones inducen fibraciones entre espacios cartográficos simpliciales en una categoría modelo simplicial

Question

Una categoría modelo simplicial satisface el axioma

SM7: si para cualquier cofibración $i:A\to X$ y cualquier fibrado $p:E\to B$ t $map_M(X,E)\to map_M(X,E)\times_{map_M(A,B)}map_M(X,B)$ es una fibración de conjuntos simpliciales que, además, es una equivalencia débil si $i$ o $p$ es.

Este es el ejercicio 3.17 de Introducción a la teoría de homotopía motivacional inestable :

Sea $M$ sea una categoría modelo simplicial, $A\to X$ i entonces para cualquier objeto $Y$ , demuestre que el mapa natural $map_M(Y,A)\to map_M(Y,X)$ es una fibración de conjunto simplicial.

Sé que para $A\to X$ una fibración, se cumple para la categoría de conjuntos simpliciales y la prueba para la categoría de modelos simpliciales debería ser similar. Pero no estoy seguro de cómo demostrar el ejercicio en el que $A\to X$ es una cofibración.

Answer 1

Esto es falso. Por ejemplo, si $M$ son sólo conjuntos simpliciales con su estructura de categoría modelo simplicial habitual y se toma $Y$ sea un punto, entonces $\operatorname{map}_M(Y,X)$ es naturalmente isomorfo a $X$ así que esto sería decir que cada cofibración $A\to X$ también es una fibración.