Derivadas covariantes en un tensor de rango 2

Question

Intentaba demostrar que para cualquier tensor de segundo orden:

$$A^{\mu\nu}_{;\mu\nu}=A^{\mu\nu}_{;\nu\mu}$$

considerando la propiedad libre de torsión y coordenadas localmente planas. Considerando el punto en el que desaparecen todos los símbolos de Christoffel y aplicando las derivadas covariantes de una en una, vemos que todos los términos con símbolos de Christoffel desaparecen y el único término que queda es el que sólo implica las derivadas parciales y sabemos que las derivadas parciales se conmutan. Pero he pensado en la definición del tensor de Riemann y usando ese enfoque implicaría que las dos derivadas de los símbolos de Christoffel se anulan entre sí. ¿Qué se me escapa?

Answer 1

Wikipedia da el conmutador de las derivadas covariantes que actúan sobre a $(2,0)$ tensor:

$$\tau^{ab}{}_{;cd}-\tau^{ab}{}_{;dc}=-R^a{}_{ecd}\tau^{eb} -R^b{}_{ecd}\tau^{ae}.$$

( Carroll tiene la generalización a un $(n,m)$ en la ecuación 3.68.)

Cuando se establece $cd$ a $ab$ los dos términos de la derecha se cancelan. No se necesitan coordenadas localmente planas cuando se hace de esta manera generalmente covariante.