¿Convierte la serie siguiente $$\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\sin^2(\sqrt{n})}{n}}$$
No debería, pero no tengo ni idea de cómo probarlo. Me preguntaba Criterio integral pero no se cumplen los supuestos. O tal vez Dirichlet ayudaría, pero entonces habría que demostrar que $\sum_{k=1}^n(\sin^2(\sqrt{k}))$ está limitada.
Observe que $\sin^2(\sqrt{n}) \geq 1/4$ si $|\sin(\sqrt{n})| \geq 1/2$ si $$\frac{\pi}{6} + k\pi \leq \sqrt{n} \leq \frac{5\pi}{6} + k\pi$$ para algún número entero no negativo $k$ . Esta cadena de desigualdades es equivalente a $$\left(\frac{\pi}{6} + k\pi\right)^2 \leq n \leq \left(\frac{5\pi}{6} + k\pi\right)^2$$ Para un $k$ el número de valores de $n$ que satisface lo anterior es aproximadamente $$\left(\frac{5\pi}{6} + k\pi\right)^2 - \left(\frac{\pi}{6} + k\pi\right)^2 = \frac{2\pi^2}{3} + \frac{4\pi^2}{3}k > 6+13k$$ Por lo tanto, $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin^2(\sqrt{n})}{n} > \sum_{k=1}^{\infty}\frac{6+13k}{4}\frac{1}{\left(\frac{5\pi}{6} + k\pi\right)^2}$$ que diverge por comparación límite con $\sum\frac{1}{k}$ .
Denote $S_N=\sum_{n=1}^N\frac{\sin^2(\sqrt{n})}{n}$ .
Por el Fórmula de Euler-MacLaurin tenemos
$$ S_N\sim_{\infty}\int_1^N dx\frac{\sin^2(\sqrt{x})}{x}+\mathcal{O}(1) $$
Esto se puede demostrar observando que las derivadas de $\frac{\sin^2(\sqrt{x})}{x}$ son $\mathcal{O}\left(\frac{1}{x^{1+m/2}}\right)$ donde $m$ es el orden de la derivada.
Realizar un cambio de variables $x=y^2$ obtenemos $$S_N\sim_{\infty}2\int_1^N dx\frac{\sin^2(y)}{y}+\mathcal{O}(1)\sim\log(N)+\mathcal{O}(1) $$
lo que demuestra que la suma es ilimitada. La última identidad asintótica se puede demostrar utilizando $\sin(x)^2=\frac{1}{2}(1-\cos(2x))$ combinado con una integración por partes.
Sólo un pequeño comentario, su fórmula para $\sin^2x$ al final tiene un problema de signos. Salvo eso, me gusta que uses la asintótica y la fórmula de Euler--Maclaurin.
Esto también debería funcionar para la serie $\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\sin(\sqrt{n})}{n}}$ ¿no?
@joseph si claro, este método es bastante flexible y vale la pena conocerlo especialmente porque nos da no solo la respuesta a nuestra pregunta sino también un valor asintótico para la suma.
Para $k\in \Bbb N$ deje $n_k=\lfloor (k+\frac12)^2\pi^2\rfloor$ . Entonces $\sin^2 \sqrt n_k\approx 1$ y también $\sin^2 \sqrt {n_k+d}\approx 1$ para $0<d<\sqrt{n_d}$ . Esto nos da $\approx k\pi$ sumandos de tamaño $\approx \frac1{k^2\pi^2}$ es decir, una contribución de $\approx \frac1{k\pi}$ . Esto nos permite comparar con la serie armónica divergente.
Mientras que el " $\approx$ " utilizado en este argumento debería ser más explícito para una prueba formal, podemos ser bastante generosos en este ...
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$\sum(sin^2(\sqrt k))$ no está acotada. Existe una subsecuencia tal que cada $k_n$ es casi 1.
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Utilizar la prueba de comparación de límites
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No estoy seguro de si la prueba de comparación de límites ayuda. Función $\sin(x)$ puede compararse con $x$ cuando $x$ tiende a $0$ . Aquí $x$ va a $\infty$ .
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Esto depende de la distribución de $\sin(n^{\frac12})$ en $[-1,1]$ pero ahora mismo no encuentro ningún resultado relevante.
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Una idea: determinar los rangos para los que $\sin^2(\sqrt{n}) \geq \frac{1}{4}$ . A continuación, calcule la suma de los términos que entran en esta categoría. Esto debería corresponder aproximadamente a $\frac{(2k-1/3)^2\pi^2}{4} < n < \frac{(2k+1/3)^2\pi^2}{4}$ donde $k$ es un número entero. Hay aproximadamente $\propto k$ términos que deben sumar $O(1/k)$ que diverge.
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¿No sigue alternando en sus propios valores positivos todavía?
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Me preguntaba si se puede aplicar aquí la prueba integral.
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@Asker123 La falta de monotonicidad es un problema cuando se trata de la prueba integral. Sin embargo, si nos fijamos en la respuesta de cansado a continuación, verá que asintóticamente se podría comparar con una integral.
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Puedo utilizar la prueba integral aquí(¡¡¡no estoy seguro de ello!!!). Si puedo usar, entonces claramente $\int_{1}^{\infty} \frac{sin^{2}{\sqrt{n}}}{n}$ no existe