¿Cuándo son irracionales/racionales los valores propios de una matriz que contiene todos los elementos al cuadrado?

Question

Perdonadme de antemano si algo de esto es trivial. Después de mirar muchas 2x2 matrices parece que si todos los elementos de la matriz son enteros cuadrados únicos, entonces los valores propios son irracionales. Así que traté de investigar esto:

$\det \begin{pmatrix} \lambda -a^2 & b^2\\ c^2& \lambda -d^2\end{pmatrix}= \lambda^2 -(a^2+d^2)\lambda + (a^2d^2-c^2b^2)$

después de aplicar la fórmula cuadrática esto da un radical de,

$\sqrt{a^4+4b^2c^2-2a^2d^2+d^4}$

Si la observación expuesta es cierta, ¿hay alguna forma de demostrar que es irracional? Además, a primera vista parece que para 3x3 matrices los valores propios de una matriz que contiene todas las entradas únicas al cuadrado que los valores propios también será irracional. ¿Es cierta alguna de estas afirmaciones? ¿Existe alguna generalización para una matriz nxn ¿Matriz?

Edición: No estoy totalmente seguro de que he derivado el radical correctamente, pero todavía me gustaría tener alguna dirección en las preguntas anteriores también Me gustaría examinar los casos en que el valor propio no es cero

Ejemplo: \begin{pmatrix} 2^2 & 4^2\\ 3^2 & 6^2 \end{pmatrix} tiene valores propios 40 y 0.

Edición 2: sigo buscando valores propios racionales de a $3x3$ han sido con restricciones impuestas y valores propios/entradas no nulos.

Answer 1

La afirmación no es cierta. La matriz $$\begin{bmatrix}1^2&36^2\\5^2&26^2\end{bmatrix}$$ tiene valores propios $721$ y $-44$ que son evidentemente racionales.

Answer 2

Si $b = 0$ o $c = 0$ entonces la matriz es triangular y los valores propios son sólo las entradas diagonales $a^2, d^2$ (que en particular son racionales). Por lo tanto, cualquiera de los $12$ opciones con $\{a, b, c, d\} = \{0, 1, 2, 3\}$ y $b = 0$ o $c = 0$ da una solución, y estos ejemplos evidentemente minimizan $\max\{a, b, c, d\}$ entre las soluciones no negativas.

Si excluimos $0 \in \{a, b, c, d\}$ para evitar estas soluciones triviales, las soluciones mínimas y sus valores propios son \begin{array}{cc}\hline (a, b, c, d) & \lambda \\ \hline(1, 2, 5, 4) & -4, 21 \\ (4, 2, 3, 5) & 13, 28 \\ \hline \end{array} y los seis ejemplos obtenidos a partir de ellos utilizando las simetrías evidentes $a \leftrightarrow d$ y $b \leftrightarrow c$ .

Para el $3 \times 3$ caso ya la matriz $$\pmatrix{0^2 & 1^2 & 2^2 \\ 3^2 & 4^2 & 5^2 \\ 6^2 & 7^2 & 8^2}$$ tiene valores propios irracionales: Su polinomio característico, $c(t) = t^3 - 80 t^2 - 354 t + 216$ tiene discriminante positivo, por lo que tiene tres raíces reales. Por otro lado, $c(t) \equiv t^3 + t + 1 \pmod 5$ pero este último polinomio no tiene raíces módulo $5$ Por lo tanto $c(t)$ es irreducible sobre $\Bbb Q$ es decir, sus tres raíces reales son irracionales.

En un sentido que pueda precisarse, la mayoría de los polinomios racionales no tienen todas las raíces racionales, y veo pocas razones para esperar que los polinomios característicos de matrices con entradas cuadradas (distintas) sean especiales en este sentido, por lo que quizá sea más interesante preguntar por un ejemplo cuyos valores propios son racional (y, por tanto, integral). Un rápido script de Maple (transcrito a continuación) encuentra muchos ejemplos con entradas $0^2, \ldots, 8^2$ . El primero de ellos lexicográficamente es $$\pmatrix{0^2 & 2^2 & 3^2 \\ 5^2 & 8^2 & 1^2 \\ 7^2 & 6^2 & 4^2} , \quad \textrm{which has eigenvalues} \quad {-13}, 24, 69 .$$ Es poco frecuente incluso entre las matrices con entradas $0^2, \ldots, 8^2$ para tener todos los valores propios racionales: Sólo ocurre para $252$ de la $9! = 362880$ casos, $180$ de los cuales no tienen valores propios nulos.

restart;
with(combinat): with(LinearAlgebra):
m := 3;
N := 9;

for numberSet in choose(N, m^2) do
    shifted := map(U -> U - 1, numberSet);
    print([shifted]);
    for ordering in permute(shifted) do
        map(U -> U^2, ordering);
        A := convert([seq(%[((i - 1) * m + 1)..(i * m)], i=1..m)], Matrix);
        c := CharacteristicPolynomial(A, t);
        if (convert(map(degree, map(U -> U[1], factors(c)[2]), t), set) = {1}) then
            print(ordering, A, solve(c));
        fi:
    od:
od:

Aquí la constante $m$ es el tamaño de la matriz, $[0, \ldots, N - 1]$ es el intervalo del que se eligen los números al cuadrado.

Answer 3

En conclusión para quien se encuentre con esto más adelante, hay muchos casos en los que los valores propios son racionales para $2x2$ El caso en el que los valores propios son racionales es menos frecuente. Si nos fijamos en el radical de la pregunta, esto resulta evidente:

$\sqrt{a^4+4b^2c^2-2a^2d^2+d^4}$

La razón por la que no son tan fáciles de encontrar es porque para que sean racionales, $a^4+4b^2c^2-2a^2d^2+d^4$ debe ser un número al cuadrado y esto ocurre con menos frecuencia. La dirección $3x3$ caso tiene más o menos la misma explicación/resultado.