Soluciones cualitativas de KDV

Question

Estoy leyendo Solitones: Una introducción [1] y en el capítulo dos (§2.2 p. 21), el autor hace un análisis cualitativo de la KDV: $u_t -6uu_x + u_{xxx} = 0$ entonces intenta encontrar soluciones de esta forma $u(x,t)=f(x-ct)$ y, a continuación, realice la siguiente sustitución $\xi =x-ct$ y luego tenemos: $-cf'-6ff'+f'''=0$ integrando dos veces tenemos:

$$\frac{1}{2}(f')^2 = f^3 + \frac{1}{2}c f^2 + Af +B \equiv F(f)$$

donde $A$ y $B$ son constantes.

Así que no entiendo este paso (cf. libro [1] p. 23). Escribió la serie Taylor para $F(f)$ en torno a $f_1$ donde $f(\xi_1) = f_1$ y $F(f_1) = 0$

$$(f')^2 = 2(f-f_1)F'(f_1) + O((f-f_1)^2)) \tag{1}$$

Y entonces:

$$f = f_1 + \frac{1}{2}(\xi - \xi_1)^2F'(f_1) + O((\xi - \xi_1)^4) \tag{2}$$

No entendí lo que hizo en la p. 23 de $(\text{1})$ a $(\text{2})$ ¿Alguien me lo puede explicar?

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[1] P.G. Drazin, R.S. Johnson, Solitones: Una introducción Cambridge University Press, 1989

Answer 1

La forma de su ecuación puede considerarse como una ley de conservación de la energía, con $K = (f')^2$ como energía cinética, $U = -F(f)$ como energía potencial y $$K+U = E$$ forma la energía del sistema.

Dado que su $F(f)$ es un polinomio cúbico, los ceros del polinomio corresponden a $0$ energía, es decir $f' =0$ . Tal vez se utilice el método Newton-Raphson para converger "iterativamente" a su solución.

Answer 2

Usted tiene una ecuación de energía, y es casi seguro que va a imponer el límite físicamente significativo de que las soluciones deben tener energía finita para todos los $\xi.$

Esto impone una restricción a $F'$ entonces lo que podrías hacer es escribir ese cúbico para $F$ de alguna manera que depende de sus ceros, que me imagino que está llamando $f_1,$ $f_2,$ $f_3.$

Ahora sólo habrá ciertas regiones en las que $f$ puede encontrarse (por ejemplo, entre dos raíces u otras) de forma que $f$ permanece acotada y, por tanto, la energía permanece acotada, cualquier otro caso corresponde a soluciones sin sentido físico. Esto se puede ver simplemente dibujando las posibles formas de la cúbica. Tienes que tener una solución en una región con la forma correcta del potencial $F$ para que la onda sea finita y tenga sentido, por ejemplo, querrá estar entre dos ceros con un pozo de potencial (un mínimo local de $F$ ) bajo ellos.