variedades afines- demuestre un ejemplo específico

Question

Empecé a aprender geometría algebraica y aún puedo entender cómo responder a preguntas computacionales.

Tengo algunas preguntas que no sé cómo empezar.

uno de ellos:

Sea Y = Z( $x^2-z^3+1, y^2-w^3-w-1)\subseteq \mathbb{A}^4$ :

a. Demostrar que Y es una variedad afín.

b. Encontrar $dim(Y)$

c. ¿es Y diferenciable?

d. encontrar un cierre proyectivo para Y

e. encontrar una hipersuperficie $S\subseteq \mathbb{A}^{\text{dim}(Y)+1}$ de modo que Y y S son birracionales.

Sigo teniendo problemas con a. Sé que es un conjunto algebraico (y cerrado en la topología de Zariski). No sé cómo demostrar que es irreducible (no sé cómo demostrar que I(Y) es primo o que $K[x,y,z,w]/I(Y)$ es un dominio integral.

Answer 1

Sea $X_1: x^2 = z^3 - 1$ y $X_2: y^2 = w^3 + w + 1$ que son curvas en $\mathbb{A}^2$ . Desde $z^3 - 1$ y $w^3 + w + 1$ son libres de cuadrado, suponiendo que la característica del campo base no es $3$ o $31$ entonces $X_1$ y $X_2$ son irreducibles según el criterio de Eisenstein. Entonces $Y = X_1 \times X_2$ y como el producto de variedades irreducibles es irreducible (véase aquí o aquí ), entonces $Y$ es irreducible.