¿Existe una estructura compleja en la 6esfera?

Question

No sé quién hizo esta pregunta por primera vez, pero creo que muchos geómetras diferenciales y complejos han intentado responderla porque parece muy sencilla y fundamental. Incluso hay varias pruebas publicadas que no se toman en serio, aunque nadie parece saber exactamente por qué están equivocadas.

La última prueba publicada es afirmativa: http://arxiv.org/abs/math/0505634 Aunque el preprint es antiguo, acaba de publicarse en Journ. Math. Phys. 56, 043508-1-043508-21 (2015)

Answer 1

He aquí un tiro en la oscuridad (Divulgación: Realmente no sé nada acerca de este problema).

Sea $G:=\mathsf{SU}(2)$ actuar $G^3$ por conjugación simultánea; a saber, $$g\cdot(a,b,c)=(gag^{-1},gbg^{-1},gcg^{-1}).$$ Entonces el espacio cociente es homeomorfo a $S^6$ (véase Bratholdt-Cooper ).

El mapa de evaluación muestra que la variedad de caracteres $\mathfrak{X}:=\mathrm{Hom}(\pi_1(\Sigma),G)/G$ es homeomorfo a $G^3/G,$ donde $\Sigma$ es una curva elíptica con dos punciones.

Fijación de clases de conjugación genéricas alrededor de las punteaduras, por resultados de Mehta y Seshadri (Math. Ann. 248 , 1980), da el espacio de moduli de los haces vectoriales parabólicos de grado 0 de rango 2 y determinante fijo sobre $\Sigma$ (donde ahora pensamos que los pinchazos son puntos marcados con estructura parabólica). En particular, estos subespacios son variedades proyectivas.

Si se deja que los datos de los límites varíen entre todas las posibilidades, se obtiene una foliación de $\mathfrak{X}\cong G^3/G\cong S^6$ . Por lo tanto, tenemos una foliación de $S^6$ donde las hojas genéricas son variedades proyectivas; en particular, complejas.

Además, las hojas son simplécticas dadas por la 2-forma de Goldman; lo que las convierte en Kähler (genéricamente). Las estructuras simplécticas de las hojas se globalizan en una estructura de Poisson en todas las hojas de $\mathfrak{X}$ .

¿Es posible que las estructuras complejas de las hojas genéricas también se globalicen?

He aquí algunas cuestiones:

1. Que yo sepa, la existencia de estructuras complejas en las hojas es genérica. Se sabe que existen exactamente cuando hay una correspondencia con un espacio de moduli de haces parabólicos. Esto ocurre para la mayoría, pero quizás no para todas, las clases de conjugación alrededor de las puntuaciones (o puntos marcados). Así que primero querría demostrar que todos las hojas de esta foliación admiten de hecho una estructura compleja. Dado lo explícita que es esta construcción, si es cierta, puede ser posible establecerla por fuerza bruta.
2. Asumiendo el punto 1., entonces hay que demostrar que las estructuras sobre las hojas globalizan a una estructura compleja sobre todas las hojas de $\mathfrak{X}$ . Dado que en este entorno, la foliación viene dada por las fibras del mapa: $\mathfrak{X}\to [-2,2]\times [-2,2]$ por $[\rho]\mapsto (\mathrm{Tr}(\rho(c_1)),\mathrm{Tr}(\rho(c_2)))$ con respecto a una presentación $\pi_1(\Sigma)=\langle a,b,c_1,c_2\ |\ aba^{-1}b^{-1}c_1c_2=1\rangle$ parece concebible que las estructuras de las hojas sean compatibles.
3. Además, $\mathfrak{X}$ no es un colector liso. Es singular a pesar de ser homeomorfo a $S^6$ . Por último, habría que argumentar que todo lo que está en juego (hojas, espacio total y estructura compleja) puede "suavizarse" de forma compatible. Esto me parece lo más difícil, si es que 1. y 2. son ciertos.

De todos modos, es un tiro en la oscuridad, probablemente esto no es posible ... sólo la primera cosa que pensé cuando leí la pregunta.

Answer 2

Personalmente, no creo que esa prueba sea correcta. Se trata de una simple cuestión de un compacto homogéneos. Cualquier grupo de Lie compacto par dimensional es un haz de toros complejos (homogéneos) sobre un espacio homogéneo racional proyectivo (que también es simplemente conexo---K "ahler"). sobre un espacio homogéneo racional proyectivo (que también es simplemente conexo---K\"ahler-Einstein con curvatura de Ricci positiva) y por lo tanto es complejo. El documento decía básicamente que la estructura compleja J_H se reduce a S^6 es integrable. Su razón era que J_H es la restricción de J_{G_2} a H. Sin embargo, H no es cerrado bajo el corchete de Lie. Por eso J_H no puede simplemente bajar a S^6.

Answer 3

Se trata de un famoso problema abierto. Aún se desconoce.

Answer 4

H $G_2$ : h