No sé quién hizo esta pregunta por primera vez, pero creo que muchos geómetras diferenciales y complejos han intentado responderla porque parece muy sencilla y fundamental. Incluso hay varias pruebas publicadas que no se toman en serio, aunque nadie parece saber exactamente por qué están equivocadas.
La última prueba publicada es afirmativa: http://arxiv.org/abs/math/0505634 Aunque el preprint es antiguo, acaba de publicarse en Journ. Math. Phys. 56, 043508-1-043508-21 (2015)
Por supuesto, no voy a responder a esta pregunta ni en un sentido ni en otro, pero hay al menos un par de cosas interesantes que uno podría señalar. En primer lugar, se ha demostrado (aunque he olvidado por quién) que no hay ninguna estructura compleja en S 6 que también es ortogonal con respecto a la métrica redonda. La prueba se basa en la teoría del twistor. El espacio twistor de S 6 es el haz cuya fibra en un punto p es el espacio de estructuras ortogonales casi complejas en el espacio tangente en p. Resulta que el espacio total es una hipersuperficie cuádrica lisa Q en CP 7 . Si no recuerdo mal, una estructura compleja ortogonal correspondería a una sección de este haz que es también submanifold complejo de Q. El estudio de la geometría compleja de Q permite demostrar que esto no puede suceder.
En segundo lugar, hay una cuestión relacionada: ¿existe una estructura compleja no estándar en CP 3 ? Para ver el vínculo, supongamos que existe una estructura compleja en S 6 y volar un punto. Esto da una variedad compleja difeomorfa a CP 3 pero con una estructura compleja no estándar, lo que parecería un fenómeno bastante extraño. Por otra parte, se sabe tan poco de las tríplex complejas (en particular de las que no son de Kahler) que es difícil decidir qué es raro y qué no lo es.
Por último, una vez escuché una charla de Yau que sugería la siguiente ambiciosa estrategia para encontrar estructuras complejas en 6-manifolds. Supongamos que trabajamos con un 6-manifold que tiene una estructura casi compleja (por ejemplo, S 6 ). Dado que el haz tangente es un haz vectorial complejo, se extrae de algún complejo de Grassman a través de un mapa clasificador. Exigir que la estructura sea integrable corresponde a una cierta EDP para este mapa. Se podría intentar deformar el mapa (mediante un flujo astuto, un método de continuidad, etc.) para intentar resolver la EDP. No tengo ni idea de si alguien ha intentado realmente llevar a cabo parte de este programa.
Michael Atiyah publicó un breve artículo "La inexistente 6-esfera compleja" https://arxiv.org/abs/1610.09366 con una negat
Un poco más de detalle al primer párrafo de Joel (no veo cómo añadirle un comentario, ¡lo siento!).
El argumento de que no existe una estructura compleja ortogonal en la 6esfera se debe a Claude Lebrun y la cuestión es que tal cosa, vista como una sección del espacio twistor, tiene como imagen un submanifold complejo. Ahora bien, por un lado, este submanifold es Kaehler, y por tanto tiene una segunda cohomología no trivial, ya que el espacio twistor es Kaehler. Por otro lado, la propia sección proporciona un difeomorfismo de nuestro submanifold con la 6-esfera que tiene segunda cohomología trivial. Estupendo, ¿eh?
He aquí una idea filosófica. explotar la siguiente asimetría en nuestro estado de conocimientos sobre las variedades orientables cerradas: mientras que casi complejo es equivalente a casi simpléctico: simpléctico implica una condición homológica adicional mientras que ser complejo no implica ninguna otra condición homológica conocida.
Esta posible condición adicional desconocida para ser una variedad compleja cerrada debe reducirse a ninguna condición en dimensión compleja uno, al igual que la condición simpléctica se reduce a ninguna condición en dimensión compleja uno. Si nos fijamos en ejemplos conocidos, podemos preguntarnos si la suma de los números de Betti de una variedad compleja cerrada por encima de la dimensión compleja uno tiene que ser necesariamente al menos tres. Obsérvese que el espacio complejo proyectivo dos realiza tres y por encima de la dimensión compleja dos se tienen las esferas círculo cruz impar con número betti total cuatro. Así que la conjetura está cerca de ser agudo si es cierto, y si es cierto demuestra que sólo la esfera de dos entre los manifolds con los números betti de la esfera par puede ser un complejo cerrado manifold. Nota: Para las variedades de dimensión compleja par, la última afirmación se conoce desde el trabajo de rene thom sobre el cobordismo, la firma y la característica de euler, que demuestra que ni siquiera existe una estructura casi compleja.
Si existe una estructura tan compleja, ¡sería realmente extraño! Por ejemplo, como demuestran Campana, Demailly y Peternell (Compositio 112, 77-91), si tal cosa existe, entonces $S^6$ no tendría funciones meromorfas no constantes. En particular, $S^6$ no puede ser Moishezon, y mucho menos algebraica.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
