¿Existe alguna diferencia entre ser artiniano/noetheriano como $R$ -módulo, frente a como $R/I$ -¿Módulo?

Question

Un hecho estándar en álgebra conmutativa:

Sea $A$ sea un anillo en el que existe un número finito de máximos cuyo producto es $0$ . Entonces $A$ es artiniano si $A$ es Noetheriano.

La prueba habitual consiste en observar que cada $\frac{m_1...m_{i-1}}{m_1...m_i}$ es naturalmente un $\frac{A}{m_i}$ -módulo. Usted mira una secuencia exacta corta $$0 \rightarrow m_1...m_i \rightarrow m_1...m_{i-1} \rightarrow \frac{m_1...m_{i-1}}{m_1...m_i} \rightarrow 0 $$

y argumentar que el módulo del medio es artiniano/noetheriano si los otros dos son artinianos/noetherianos. Entonces, por inducción decreciente, cada $m_1...m_i$ es artiniano si es noetheriano. En particular, para $i=0$ obtendrá el resultado deseado.

Mi pregunta es, ¿por qué está bien mezclar $A$ siendo noetheriano (sobre sí mismo), y $A$ siendo noetheriano como $\frac{A}{m_i}$ -¿Módulo?

Seguramente hay una diferencia entre la noción de ser Artiniano/Noetheriano como $\frac{A}{m_i}$ -y siendo Artiniano/Noetheriano como $A$ -módulos. Así, por ejemplo, ¿cómo podemos justificar el uso de la suposición de que el $\frac{A}{m_i}$ -módulo $\frac{m_1...m_{i-1}}{m_1...m_i}$ es noetheriano para deducir algo sobre $A$ siendo noetheriano como un módulo sobre sí mismo?

(Para los detalles completos de la prueba estándar, véase el Lemma 2.15 aquí: https://people.kth.se/~laksov/courses/algebradr01/notes/chains2.pdf )

Answer 1

Si $A$ es un anillo conmutativo, $m$ un ideal de $A$ entonces se cumple lo siguiente:

• si $M$ es un $A$ -módulo con $mM = 0$ entonces $M$ es un $A/m$ -módulo
• si $M$ es un $A/m$ -entonces $M$ es un $A$ -módulo

Teniendo esto en cuenta, si $M$ es un $A$ -módulo con $mM = 0$ entonces el $A$ -submódulos de $M$ son precisamente los $A/m$ -submódulos de $M$ y así $M$ es Artiniano (resp. Noetheriano) como un $A$ -si y sólo si es Artiniano (resp. Noetheriano) como un $A/m$ -módulo.

Como se explica en la prueba enlazada, está claro que $\frac{m_1...m_{i-1}}{m_1...m_i}$ es artiniano como $A/m_i$ -si es noetheriano como un $A/m_i$ -(ya que $A/m_i$ es un campo), y por lo tanto por la parte anterior es Artiniano como un $A$ -si es noetheriano como un $A$ -módulo.

Consideremos entonces la secuencia exacta corta de $A$ -módulos $$0 \rightarrow m_1...m_i \rightarrow m_1...m_{i-1} \rightarrow \frac{m_1...m_{i-1}}{m_1...m_i} \rightarrow 0 $$ y aplicar la inducción como describes.