Me cuesta entender la prueba de este corolario. Dice así
Por cada $x \in E$ w \begin{align*} ||x|| = \sup_{f \in E^*,||f|| \leq 1} |\langle f,x \rangle| = \max_{f \in E^*, ||f|| \leq 1} |\langle f,x \rangle| \end{align*}
w $E^*$ es el espacio dual de $E$ utilizan la notación $|\langle f,x \rangle| = f(x)$ y $||f|| = \sup_{x \in E, ||x|| \leq 1} |f(x)|$ .
La primera línea de la prueba dice,
I \begin{align*} \sup_{f \in E^*, ||f|| \leq 1} |\langle f,x \rangle| \leq ||x|| \end{align*}
¿Por qué es tan obvio? Porque cualquier $f \in E^*$ tal que $||f|| \leq 1$ sólo sabemos que para cualquier $x \in E$ tal que $||x|| \leq 1$ tenemos $|\langle f,x \rangle| \leq 1$ . Intenté razonar suponiendo primero que $\sup_{f \in E^*, ||f|| \leq 1} |\langle f,x \rangle| > ||x||$ por lo que existiría un $f \in E^*$ con $||f|| \leq 1$ y $|\langle f, x \rangle| > ||x||$ pero no veo cómo esto lleva a una contradicción.
¿Alguna pista? Quizá esté malinterpretando algo.
