Un ejemplo para mostrar si $K$ es normal en $H$ , $H$ es característico en $G$ entonces $K$ no es normal en $G$

Question

Busco un ejemplo de afirmación " $K$ es normal en $H$ , $H$ es característico en $G$ entonces $K$ no es normal en $G$ ".

En cuanto a la afirmación " $K$ es normal en $H$ , $H$ es normal en $G$ , $K$ no necesariamente normal en $G$ " He descubierto un ejemplo de grupo $A_4$ .

$G=A_4,\ H=\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\},\ K=\{e,(12)(34)\}$ . Entonces $H$ es normal en $G$ y $K$ es normal en $H$ . Pero $K$ no es normal en $G$ .

PERO no funciona para la declaración anterior como $H=\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$ no es característico.

¿Qué más puede ayudarme?

Answer 1

He aquí otro ejemplo. Sea $G=A_3 \times S_3$ y poner $H=A_3 \times A_3$ . Entonces $|G:H|=2$ de donde $H$ es un subgrupo normal de $G$ y puesto que $H \in Syl_3(G)$ se deduce que $H$ char $G$ . Ahora dejemos que $K=\{((1),(1)),((123),(123)),((132),(132))\} \subset H$ . Entonces $K$ es cíclico de orden $3$ y $K$ es normal en $H$ para $H$ es abeliano. Sin embargo, $((12),(1))^{-1}((123),(123))((12),(1))=((132),(123)) \notin K$ Por lo tanto $K$ es no normal en $G$ .