Propiedad transitiva de igualdad de variables aleatorias

Question

Sea $X_1$ , $X_2$ y $X_3$ sean variables aleatorias discretas. Si $\Pr[X_1 = X_2] = 1$ y $\Pr[X_1 = X_3] = 1$ ¿es cierto que $\Pr[X_2 = X_3] = 1$ ?

Intuitivamente, puesto que $\Pr[X = Y] = \sum_{z \in \mathbb{Z}} f_{XY}(z,z)$ Creo que la propiedad transitiva de la igualdad se cumple para las variables aleatorias, pero no sé si existe algún resultado que lo confirme.

Answer 1

Supongamos que $X$ , $Y$ y $Z$ son variables aleatorias definidas en el mismo espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal F,P)$ tal que $P(X=Y)=1$ y $P(X=Z)=1$ .

Desde $P(X=Y)=1$ existe $\Omega_1\subset\Omega$ tal que $X(\omega)=Y(\omega)$ para cada $\omega\in\Omega_1$ y $P(\Omega_1)=1$ . Del mismo modo, existe $\Omega_2\subset\Omega$ tal que $X(\omega)=Z(\omega)$ para cada $\omega\in\Omega_2$ y $P(\Omega_2)=1$ .

Para cualquier $\omega\in\Omega_1\cap\Omega_2$ tenemos que $Y(\omega)=Z(\omega)$ . Evaluemos la probabilidad $P(\Omega_1\cap\Omega_2)$ . Tenemos que $P(\Omega_1\cap\Omega_2)=1-P(\Omega_1^c\cup\Omega_2^c)$ . Pero $P(\Omega_1^c\cup\Omega_2^c)=0$ desde $P(\Omega_1^c)=0$ y $P(\Omega_2^c)=0$ . Por lo tanto, $P(Y=Z)=1$ .

Answer 2

Tenga en cuenta que $$ \{X_2 = X_3\} \supseteq \{X_1 = X_3\} \cap \{X_1 = X_2\} $$ es decir, en puntos $\omega \in \Omega$ w $X_1(\omega) = X_3(\omega)$ y $X_1(\omega) = X_2(\omega)$ debemos tener $X_2(\omega) = X_3(\omega)$ . Por lo tanto, tenemos \begin{align*} \def\P{\mathbf P}\P[X_2 = X_3] &\ge \P[X_1 = X_2, X_1 = X_3]\\ &= \P[X_1 = X_2] + \P[X_1 = X_3] - \P[\{X_1 = X_3\} \cup \{X_2 = X_3\}]\\ &= 2 - \P[\{X_1 = X_2\} \cup \{X_1 = X_3\}]\\ &\ge 2-1\\ &= 1. \end{align*} Por lo tanto, $\P[X_2 = X_3] = 1$ .

Answer 3

Si $A$ y $B$ son acontecimientos con $P(A)=1=P(B)$ entonces: $$P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=1+1-1=1$$

Aplicando eso en $A=\{X_1=X_2\}$ y $B=\{X_1=X_3\}$ encontramos que $P(X_1=X_2=X_3)=1$ y en consecuencia $P(X_2=X_3)=1$