cardinalidad de algunos subconjuntos de los conjuntos de potencias de $\mathbb Z$ y $\mathbb R$

Question

Cuál es el número cardinal de estos conjuntos :

1. $X:= \left\{ A \in P(\mathbb Z) \mid \sum_{a \in A} |a| \text{ is finite} \right\}$

2. $Y:= \left\{ B \in P(\mathbb R) \mid(\mathbb {R}\setminus B) \space \text {is countable} \right\}$

3. $Z:= \left\{ C \in P(\mathbb R) \mid|C| = \mathfrak{c} \right\}$

Mis soluciones:

$1.$ Defina $ f : \left\{x\in P(\mathbb Z) | \text {x is finite subset}\right\} \to \mathbb N$

$\space \text{defined by :} \begin{cases} P_{lastdigit7} \space , & \text{if $y\in x>0$} \\ P_{lastdigit3}, & \text{if $y\in x<0$} \\\end{cases} $ así que $f(X) = P_{y1}*P_{y2}* \cdots * P_{yn}$

$Py:=$ el número primo en el lugar y , $P_1 = 2 , P_2=3$ y así sucesivamente..

$P_{lastdigit7}:=$ el número primo en el lugar y cuando la última cifra es 7 $P_1 = 7 , P_2=17$ ...

$P_{lastdigit3}:=$ el número primo en el lugar y cuando la última cifra es 3 $P_1 = 3 , P_2=13$ ...

Creo que es una biyección y su prueba que es contable , $\aleph_0$ .

2.Queremos $(\mathbb {R}\setminus B)$ sea contable por lo que $B$ debe ser incontable .

así que vamos a encontrar cardinalidad de conjuntos contables.

Límite alto : $|\mathbb R ^{\mathbb N}| = \mathfrak{c}.$

Límite bajo: $| \left\{0,1 \right\} ^{\mathbb N}| = \mathfrak{c}$ .

Así que $|Y|=\mathfrak{c}$ .

$P(\mathbb R)=\left\{ Countable \space subsets \right\} \bigcup \left\{ Uncountable \space subsets \right\} \implies $

$2^\mathfrak{c}=|P(\mathbb R)|=|\left\{ Countable \space subsets \right\}| + |\left\{ Uncountable \space subsets \right\}| = $

$\mathfrak{c} + |\left\{ Uncountable \space subsets \right\}| \implies |\left\{ Uncountable \space subsets \right\}|=2^\mathfrak{c}. $

$|Y|=2^\mathfrak{c}.$

$3.$ En el ejercicio 2 demostramos que $|C|=2^\mathfrak{c}.$

¿Son correctas mis pruebas?

Answer 1

1. En primer lugar $g$ sea cualquier biyección $\mathbb Z \to \mathbb N$ por ejemplo $$g(n) = \begin{cases} 2 \cdot n,\ n \geq 0\\ -2 \cdot n - 1,\ n < 0\end{cases}$$ Ahora, digamos $f(X) = \sum_{x \in X} 2^{g(x)}$ . Compruebe que $f$ es biyección.

2. Sea $Y' = \{B \in P(\mathbb R) | B \text{ is countable}\}$ . ¿Sabe usted que $Y'$ tiene cardinalidad $\mathfrak{c}$ ? Si es así, entonces hay una simple biyección $Y \leftrightarrow Y'$ .

3. Considere el conjunto $D = \{[0, 1] \cup T | T \subseteq [3, 4]\}$ . ¿Cuál es la cardinalidad de $D$ ? ¿Cuál es la relación entre $C$ y $D$ ?

Answer 2

Su respuesta para (1) funciona, modulo alguna redacción más cuidadosa, pero su $f$ no es una biyección.

Pero $f$ es uno a uno. Es fácil demostrar que si $W$ es infinita, y existe una función unívoca $f:W\to\mathbb N,$ entonces $W$ es contablemente infinito.

Así que no necesitas tu $f$ sea una biyección para obtener la cardinalidad de $X$ es contablemente infinito.

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Una biyección explícita para (1).

Si $x=\{a_1<a_2<\cdots <a_k\},$ entonces defina $$f(x)=\begin{cases}0&x=\emptyset\\\sum_{i=1}^k2^{a_i+1}&a_1\geq 0\\ -1+\sum_{i=1}^k 2^{a_i-2a_1}&a_1<0 \end{cases}$$

Esto es un poco más fácil de entender viendo que $g(x)=f(x)+1$ es una biyección con $\mathbb N^+,$ el conjunto de los números naturales distintos de cero.

Dado $n\in\mathbb N,$ escriba a $n+1$ en binario:

$$n+1=2^{b_1}+2^{b_2}+\cdots+2^{b_k}.$$

Con $0\leq b_1<b_2<\cdots<b_k.$

Entonces, si $b_1=0,$ obtenemos:

$$f^{-1}(n)=\{b_2-1,b_3-1,\dots,b_k-1\}$$

En $b_1>0,$ lo consigues: $$f^{-1}(n)=\{b_1-2b_1,b_2-2b_1,b_3-2b_1,\dots b_k-2b_1\}.$$

Dejaré que pruebes que esto es una biyección.

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Esta es una forma complicada de hacer algo que es fácil para el conjunto $$X’=\{x\in P(\mathbb N)\mid x\text{ finite}\}$$ Existe una codificación binaria sencilla de $X’$ :

$$f’(x)=\sum_{i\in x} 2^{i}$$

Podríamos utilizar una simple biyección $g:X\to X’,$ por supuesto, y definir $f(x)=f’(g(x)),$ pero quería una codificación numérica más directa.