¿Cómo cortar un cubo de un tocón de árbol, de forma que un par de vértices opuestos estén en el centro?

Question

Vi esta foto de un cubo cortado de un tocón de árbol.

He intentado hacer lo mismo con un tocón de árbol, pero me ha costado averiguar cómo hacerlo.

Uno de los pares de vértices opuestos está en el centro del tocón del árbol:

He estado luchando para encontrar los números y el ángulo necesarios para hacer los cortes.

Cualquier tipo de consejo será muy apreciado. Gracias por tomarse su tiempo para leer esto y lo siento por mi mal inglés.

Answer 1

El método

He aquí un enfoque con el que sólo se trata de superficies planas.

1. Cortar del tocón un prisma hexagonal (regular) de radio $r$ y altura $\frac32r\sqrt2\approx2.1213 r$ .

   Nota: La "anchura" de cara a cara del prisma debe ser $r\sqrt3\approx1.732r$ .

   (Comprobación de la regularidad: Los bordes de la parte superior e inferior hexagonal también deben ser $r$ .)

La figura muestra la vista superior y las seis caras laterales "desenrolladas".

2. Divide cada arista lateral del prisma en tercios, y dibuja un zig-zag a través de las caras laterales, uniendo alternativamente $\frac13$ y $\frac23$ marcas en esos bordes.

   Cada segmento del zig-zag será una arista del cubo final. (Su longitud debe ser $e\approx 1.2247r$ .)

3. Cada tríada consecutiva de puntos del zig-zag (junto con el punto central superior o inferior del prisma) define una cara del cubo, por lo que "todo lo que hay que hacer" es eliminar el exceso de madera hasta que esas caras sean planas.

¡Hecho!

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Las matemáticas

Para un prisma de radio $r=2$ (para evitar fracciones), que el centro inferior del prisma sea el origen $O=(0,0,0\sqrt2)$ y el centro superior be $T=(0,0,3\sqrt2)$ .

Las coordenadas del zig-zag de puntos ( $ABCDEFA$ en la figura) tienen la forma $$\left(2\cos k\,60^\circ, 2\sin k\,60^\circ, (1\;\text{or}\;2)\sqrt{2} \right)$$ Específicamente, $$A = (\phantom{-}2,0,2\sqrt{2}) \qquad B = (\phantom{-}1,\phantom{-}\sqrt{3},1\sqrt2) \qquad C = (-1,\phantom{-}\sqrt3,2\sqrt2)$$ $$D = (-2,0,1\sqrt2) \qquad E = (-1,-\sqrt3,2\sqrt2) \qquad F = (\phantom{-}1,-\sqrt3,1\sqrt2)$$ (donde $A$ , $C$ , $E$ están más cerca de la parte superior del prisma, y $B$ , $D$ , $F$ están más cerca del fondo). A partir de aquí, podemos comprobar que $$\begin{align} T &= B+(A-B)+(C-B) &&\quad\to\quad T,A,B,C\;\text{coplanar} \\ &= D+(C-D)+(E-D) &&\quad\to\quad T,C,D,E\;\text{coplanar}\\ &= F+(E-F)+(A-F) &&\quad\to\quad T,E,F,A\;\text{coplanar}\\[4pt] O &= A+(B-A)+(F-A) &&\quad\to\quad O,F,A,B\;\text{coplanar}\\ &=C+(B-C)+(D-C) &&\quad\to\quad O,B,C,D\;\text{coplanar}\\ &=E+(D-E)+(F-E) &&\quad\to\quad O,D,E,F\;\text{coplanar} \end{align}$$ y $$\begin{align}2\,\sqrt{\frac32}=\sqrt{6}\;&=\;|AB|=|BC|=|CD|=|DE|=|EF|=|FA| \\ &=\;|TA|=|TC|=|TE| \\ &=\;|OB|=|OD|=|OE|\end{align}$$ de modo que las caras sean cuadriláteros con aristas de igual longitud, lo que las convierte en como mínimo rombos. También, $$\begin{align} 0\;&=\;(A-T)\cdot(C-T)=(C-T)\cdot(E-T)=(E-T)\cdot(A-T) \\ &=\;(B-O)\cdot(D-O)=(D-O)\cdot(F-O)=(F-O)\cdot(B-O) \end{align}$$ para que $$90^\circ = \angle ATC = \angle CTE = \angle ETA =\angle BOD = \angle DOF = \angle FOB$$ Es decir, cada cara del rombo tiene al menos un ángulo recto, lo que lo convierte en un cuadrado . $\square$

Answer 2

Puesto que usted dijo que usted estaba encontrando difícil encontrar los números, he indicado naturalmente cómo los números se calculan de la geometría 3d en este sitio de las matemáticas..

El vértice V aún no está localizado. Se muestra un cono imaginario.

El eje del cilindro está a lo largo de OV =h. La línea OB está a lo largo del eje x. A,B,C están marcados en un círculo base a 120 grados de distancia. OA=OB=OC=r y V es el vértice del cono y VA,VB,VC son mutuamente perpendiculares. OV=h y el ángulo semivertical del cono es OVB. Las coordenadas de A,B,V son

$$ (r,0,0),(-r/2, - r\sqrt 3/2 ),(0,0,h)$$

Vectores de posición $AV,BV$ son respectivamente $$(r\;i,0j,-h\;k),\;(-r\;i/2, - r\sqrt 3/2,-h\;k)$$

Como VA,VB son ortogonales, el producto punto desaparece $$ \dfrac{-r^2}{2}+h^2=0\to \boxed{\dfrac{h}{r}= \dfrac{1}{\sqrt 2} }$$

que es la primera parte esencial de la respuesta.

A continuación el radio dentro del círculo del triángulo base CAB es OM = OB/2 =r/2. Los ángulos VOM, VOB y OMB son ángulos rectos.

$$\tan OVM = \dfrac{r}{2 h}=\dfrac{1}{\sqrt 2 } \to \angle OVM = 35.2644^{\circ}$$

La sierra de cinta se alinea en el plano que pasa por AB formando el ángulo anterior OVM con el eje del cilindro de madera y se realiza un corte de sierra manteniendo el cilindro de madera inmóvil; se repite para BC, CA girando el cilindro por $120^{\circ} $ para otros dos cortes de sierra planos. Si la alineación se realiza en la máquina de sierra con respecto al plano base, entonces utilizamos su complemento $54.7356^{\circ}.$ Alternativamente la sierra puede tocar el centro V y cortar tres piezas en este ángulo dejando atrás la esquina del cubo de ángulo triédrico.

Los nuevos planos de tres cortes tienen $120^{\circ} $ diedros a lo largo de VA,VB y VC con $V$ como vértice común.

Así que tres cortes arbitrarios (a lo largo del eje) en $\angle OVM$ para cada uno de los tres planos de intersección producen un vértice/esquina del cubo. Otras tres caras en el otro lado se generan de la misma manera a 60, 180, 300 grados de rotación del cilindro.

Lo anterior es suficiente para fabricar a máquina el cubo que se muestra en la pregunta. Se puede generalizar.. Tal vez modificado convenientemente para incluso tallar un diamante del tipo Kohi-noor (con máquinas de tallar piedra/lapidaria adecuadas) para tallar producir varias caras poliédricas.

Answer 3

Espero que la imagen ayude porque de lo contrario no estoy seguro de cómo explicar esto sin un apoyo visual.

En la parte superior de la imagen tenemos un rombo ABCD que, visto desde arriba, se parece a la imagen de la parte inferior de la figura. El punto que corresponde al centro del tronco es C.

Ahora viene la parte difícil, que requiere visualizar el proceso. Imaginemos que podemos levantar el punto A sobre una recta que es ortogonal sobre el plano inicial del rombo. La forma ABCD sigue siendo un rombo si los puntos B y C también se levantan en consecuencia.

Mediante este proceso, tenemos que elevar el punto A de forma que la nueva forma descrita por los puntos desplazados A'B'CD' (C permanece fijo) se convierta en un cuadrado, lo que equivale a tener A'C=B'D' (¡después del desplazamiento de los puntos!)

Con esta información podemos calcular el ángulo $\theta$ entre el ahora cuadrado y el plano inicial mediante

$$\cos(\theta) = \frac{AC}{A'C} = \frac{AC}{BD}.$$

Esta fórmula se aplica en el triángulo resultante ACA'.

Ahora tenemos que relacionar la fórmula de este ángulo con la geometría del tronco. Una vista superior del tronco con el cubo insertado en él se parecería a la siguiente imagen, donde el punto C está en la superficie plana superior o inferior del tronco.

Desde esta perspectiva, debe quedar claro que durante el desplazamiento mencionado anteriormente es cierto que BD=B'D'. Pero BD es la arista de un triángulo equilátero, y DC es el radio $r$ del cilindro. Así que a partir de este punto se puede calcular el radio conociendo la arista del triángulo lo que da

$$r = DC = BD \frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Esto relaciona el radio del tronco con el ángulo $\theta$ a través de BD.

El último paso consiste en relacionar la altura del tronco con el ángulo. Esto se consigue fácilmente observando que la altura debe ser

$$h = l_{cube} \sqrt{3}$$

donde $l_{cube}$ es la longitud de la arista del cubo. A partir de la fórmula anterior

$$\cos(\theta) = \frac{AC}{BD} = \frac{r}{l_{cube}\sqrt{2}}$$

que da

$$r = \frac{\sqrt{2}}{3}h.$$

Ahora, para ponerlo todo en términos de la forma del tronco, el ángulo en el que hay que hacer los cortes es

$$\theta = \arccos(\frac{1}{\sqrt{3}}) \approx 54.73^o$$

y la goemetría del tronco tiene que satisfacer la condición

$$r = \frac{\sqrt{2}}{3}h.$$

Supongo que la dirección de los cortes no es un problema para usted. Para otros sin embargo, se puede marcar el centro de una superficie plana del tronco y luego dibujar 3 segmentos que tienen un $120^o$ entre ellos. A continuación, los cortes deben realizarse en el ángulo mencionado, siendo la línea trazada ortogonal a la intersección del plano de corte y la superficie plana.

EDIT: Corrección aplicada a partir del comentario de Joshua Wang. Gracias.