La forma cerrada para la integral de potencias enteras de la función de Sinc

Question

(Edit: Gracias Vladimir por proporcionar las referencias de la forma cerrada del valor de las integrales. Mi revisado pregunta, entonces, es cómo derivar esta forma cerrada.)

Para todos los $n\in\mathbb{N}^+$, definir $\mathcal{I}_n$ por la integral definida, $$\mathcal{I}_n:=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^n{(x)}}{x^n}\mathrm{d}x.$$ Demostrar que $\mathcal{I}_n$ tiene la siguiente forma cerrada: $$\mathcal{I}_n\stackrel{?}=\pi\,2^{-n}\left(n\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor}\frac{(-2)^k(n-2k)^{n-1}}{k!(n-k)!}\right),~~\forall n\in\mathbb{N}^+.$$

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Las integrales de pequeño entero positivo poderes de la $\operatorname{sinc}$ función de venir sobre una base regular aquí, pero se me ocurrió que, mientras yo probablemente sabe que las derivaciones de la $1\le n\le 4$ de los casos como la palma de mi mano, no puedo recordar siempre el trabajo de la integrales wfor cualquier valor de $n$ más alto que eso. Los valores de los cuatro primeros integrales,

$$\mathcal{I}_1=\frac{\pi}{2},\\ \mathcal{I}_2=\frac{\pi}{2},\\ \mathcal{I}_3=\frac{3\pi}{8},\\ \mathcal{I}dimm_4=\frac{\pi}{3}.$$

Así que me puse a calcular primero $\mathcal{I}_5$ a ver si obvio patrón saltó (y ver si la tendencia de ser igual a la racional múltiplos de $\pi$ continuación). Terminé frustrado y pidiendo WolframAlpha lugar. Resulta que mientras los cuatro primeros casos, aludió a la posibilidad de un patrón simple relacionados con los valores de $\mathcal{I}_n$ para diferentes números enteros positivos $n$ (o, posiblemente, a separar los dos patrones de pares e impares $n$), el siguiente par de valores más definitivamente no:

$$\mathcal{I}_5=\frac{115\pi}{384},\\ \mathcal{I}_6=\frac{11\pi}{40},\\ \mathcal{I}_7=\frac{5887\pi}{23040}\\ \mathcal{I}_8=\frac{151\pi}{630}.$$

Así que mis preguntas son, 1) ¿existe una forma sistemática para calcular estas integrales para todos los $n$?; y 2) ¿hay una forma elegante para representar estos valores en forma cerrada para general $n$?

Answer 1

Todos sinc función de las integrales del tipo

$$I_n=\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^n{(x)}}{x^n}\mathrm{d}x$$

puede expresarse en la siguiente forma general:

$$\displaystyle \int_{0}^{\infty}\frac{\sin^a{(x)}}{x^b}\mathrm{d}x=\frac{(-1)^{\lfloor(a-b)/2 \rfloor} \cdot \pi^ {1-c}}{ 2^{a-c}(b-1)!}\sum_{k=0}^{\lfloor a/2-c \rfloor } (-1)^k { a \choose k}(a-2k)^{b-1} Log^c(a-2k) $$

donde $a$ $b$ y son enteros positivos, $c\equiv (a-b) \pmod 2$, e $\lfloor j \rfloor $ denota la función del suelo. Al$a=b=n$, $c=0$ y la ecuación se simplifica en

$$\displaystyle I_n=\frac{ \pi}{ 2^{n}(n-1)!}\sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor }(-1)^k { n \choose k}(n-2k)^{n-1} $$

así que usted puede obtener los coeficientes racionales para cada una de las $n$ dividiendo la última expresión a $\pi$. Esto le da la secuencia 1/2, 1/2, 3/8, 1/3, 115/384, 11/40, 5887/23040, 151/630, 259723/1146880, 15619/72576, 381773117/1857945600, 655177/3326400.....

La última ecuación puede ser simplificada en

$$\displaystyle I_n=\frac{n \pi}{ 2^{n}}\sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor } \frac{(-1)^k (n-2k)^{n-1}}{k!(n-k)!} $$

Answer 2

He aquí una idea para, incluso, n; yo no he visto en cualquiera de los enlaces de arriba, así que espero que esta no es la misma que en Strehlke. [Ok, después de terminar esto, echó un vistazo a Strehlke. Enfoque de abajo no es el mismo que el suyo.]

La función de sinc es la transformada de Fourier de un vagón de carga. Aquí voy a trabajar con un furgón que es 1 para x en -1/2,1/2 y cero en caso contrario. El ancho del vagón de carga se refieren a la frecuencia de la sinc, pero siempre se puede cambiar la escala de la integral dada, de modo que la frecuencia conduce a la inversa FT con el vagón de carga que uso aquí.

Por lo que la integral se puede escribir como $\int (\frac{\sin (\omega x)}{\omega x})^ndx=\int \Pi_{i=1}^nFT\{boxcar*boxcar\cdots * boxcar \}$, donde * es la convolución. Esto es usar el Teorema de Convolución, de modo que los PIES de una convolución es el producto de la FTs.

Ahora, podemos evaluar las circunvoluciones de a pares (esta es la razón por la que necesitaba n aún). vagón de carga * vagón de carga = triángulo, donde para el particular vagones de carga que he elegido, la pendiente de el triángulo de las piernas del es $\pm 1$. I. e., el triángulo que está en el origen, mirando como /\ con líneas de pendiente $\pm 1$. Así que ahora tenemos circunvoluciones de n/2 triángulos como este.

El área de solapamiento de estos 2 triángulos es $A_{overlap}=\frac{1}{2}(2-\Delta)$ $\Delta\leq 2$ y cero de otra manera, en $\Delta$ es el desplazamiento en la convolución. Cuando los triángulos que se sientan en la parte superior de uno al otro, la superposición es solo 1, y cuando no están superpuestos a todos, $\Delta>2$, la superposición es cero.

Así que podemos ver que la convolución de 2 triángulos es un nuevo triángulo cuyos piernas, /\, tiene pendiente $\pm 1/2$.

Los triángulos son en este sentido los vectores propios del operador de convolución. Así que tuvimos n/2 triángulos con pendiente $\pm 1$ de convolving los vagones de carga, y ahora tenemos n/4 triángulos con pendiente $\pm 1/2$ a partir de esta segunda ronda de las circunvoluciones. Convolving de nuevo nos trae a n/8 triángulos con laderas $\pm 1/4$. En general, convolving un triángulo con la misma se divide la pendiente por 2. Así que aquí, la pendiente es $1/2^c$, c el número de circunvoluciones de triángulos (sin contar lo que hicimos en los vagones de carga), y el número de triángulos $n/2^{c+1}$. Para bajar a un triángulo, $c=\ln n/\ln 2 -1$. Tendrá pendiente $m=\frac{1}{2^{\ln n/\ln 2-1}}$. Entonces podemos tomar su transformada de Fourier como

$\int_{-1/m}^0 e^{ikx} (mk+1) dk-\int_{0}^{1/m} e^{ikx} (1-mk) dk$, donde he dividido la integral para reflejar los trozos definición de un triángulo; tenga en cuenta que los límites también reflejan la forma de triángulo.

Nota: el triángulo es simétrico respecto al origen, por lo que sólo un coseno contribuirá a los PIES; el seno de la contribución de la cancela fuera. Esta integral se puede hacer fácilmente y ofrece una sencilla función de x que puede ser integrado de 0 a infinito.

También, tenga en cuenta que este enfoque todavía trabajo para impar n, como el que acaba de dividir a los vagones de carga circunvoluciones en un número par de vagones de carga convoluciona con la otra, entonces convoluciona con uno más en el vagón de carga. Así que si el poder es ahora n+1, que podría tomar el último triángulo de potencia n caso de reducción, y luego de convolución con un furgón---también una función simple. Entonces PIES que e integrar más de x.