Cómo calcular $\int^{x} _{1/x} \frac{e^{-(t+\frac{1}{t})}}{t}dt$

Question

Cómo calcular $$I = \int^{x} _{1/x} \frac{e^{-(t+\frac{1}{t})}}{t}dt\ ?$$

Mi intento:

Sea $t=1/y$ así que $dt=\frac{-1}{y^2}dy$

Ahora solo sustituye para que obtengamos :(Los límites también cambiarán )

$I = \int^{1/x} _{x} e^{-(\frac{1}{y} + y)}y(\frac{-1}{y^2}dy)$

Así que independientemente de la variable obtenemos de nuevo la misma forma $I = -\int^{1/x} _{x} \frac{e^{-(y+\frac{1}{y})}}{y}dy$

Quitando el signo negativo cambiando los límites obtenemos : $I = \int^{x} _{1/x} \frac{e^{-(y+\frac{1}{y})}}{y}dy$

Estoy atascado aquí ¿Cómo encontrar la integración? Se agradecen las sugerencias.

Gracias de antemano.

Answer 1

Supongamos que $x>1$ .

Dividiendo el intervalo de integración y aplicando a continuación la sustitución $t+\frac{1}{t}=z$ , obtenemos: $$I=\int_{1/x}^{x}\exp\left(-t-\frac{1}{t}\right)\frac{dt}{t}=2\int_{1}^{x}\exp\left(-t-\frac{1}{t}\right)\frac{dt}{t}=2\int_{2}^{x+\frac{1}{x}}\frac{e^{-z}}{\sqrt{z^2-4}}\,dz $$ o, aplicando sucesivamente las sustituciones $z=2u$ y $u=\cosh\theta$ : $$ I = 2\int_{1}^{\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)}\frac{e^{-2u}}{\sqrt{u^2-1}}\,du = 2\int_{0}^{\log x}\exp\left(-2\cosh \theta\right)\,d\theta $$ que es una integral no elemental relacionada con Funciones de Bessel . Por ejemplo: $$\int_{2}^{+\infty}\frac{e^{-z}}{\sqrt{z^2-4}}\,dz = e^2\,K_0(2).$$

Sin embargo, $\exp(-2\cosh\theta)$ se comporta como $\exp\left(-2-\theta^2\right)$ por lo que no es difícil aproximar dicha integral con una función de error o mediante la desigualdad de Cauchy-Schwarz: $$ \int_{x+\frac{1}{x}}^{+\infty}\frac{e^{-z}}{\sqrt{z^2-4}}\,dz\leq \sqrt{\frac{1}{2} e^{-2x-2/x}\int_{x+\frac{1}{x}}^{+\infty}\frac{dz}{z^2-4}}$$