El PDE: $$\frac1D C_t-Q=\frac2rC_r+C_{rr}$$
en el dominio $r \in [0,\bar{R}]$ y $t \in [0,+\infty]$ y donde $D$ y $Q$ son constantes reales. Buscamos una función $C(r,t)$ .
El BC: $$C(0,t)=f(t)$$ $$C_r(\bar{R},t)=0$$ El CI: $$C(r,0)=C_0$$ Si $f(t)=0$ entonces conozco la solución. Supongamos: $$C(r,t)=C_E(r)+v(r,t)$$ $$-Q=\frac2rC_r+C_{rr}$$ $$-Q=\frac2rC_E'(r)+C_E''(r)$$ $$rC_E''+2C_E'+Qr=0$$ donde $C_E(r)$ es la solución en estado estacionario ( $t \to \infty$ ). $$C_E(r)=-\frac{Qr^2}{6}+\frac{c_1}{r}+c_2$$ $$\text{because }\lim_{r\to 0}C(r)=\infty\Rightarrow c_1=0$$ Pero como $f(t) \neq 0$ , $c_2$ no puede determinarse.
Toda ayuda será apreciada.
Edita. En el caso de $f(t)=0$ la solución, resumida, pasa a ser:
$$c_2=0$$ $$C_E(r)=-\frac{Qr^2}{6}$$ $$C(r,t)=-\frac{Qr^2}{6}+v(r,t)$$ Calcular derivadas parciales: $$C_t=v_t$$ $$C_r=-\frac{Qr}{3}+v_r$$ $$C_{rr}=-\frac{Q}{3}+v_{rr}$$ Insertando en la EDP se obtiene entonces la EDP homogénea en $v(r,t)$ : $$\frac1D v_t=\frac2r v_r+v_{rr}$$ Ansatz: $v(r,t)=R(r)T(t)$ entonces la separación de variables da las soluciones de la EDO, con $-m^2$ una constante de separación: $$T(t)=c_3\exp(-m^2 D t)$$ $$R(r)=c_4\frac{\sin mr}{r}$$ BCs: $$R(0)=0$$ $$R'(\bar{R})=0$$ $$R'=c_4\frac{mr\cos mr-\sin mr}{r^2}$$ $$R'(\bar{R})=c_4\frac{m\bar{R}\cos m\bar{R}-\sin m\bar{R}}{\bar{R}^2}=0$$ Los valores propios $m_i$ son las soluciones de la ecuación trascendental: $$m_i\bar{R}=\tan m_i\bar{R}$$ Así que tenemos: $$v(r,t)=\sum_{i=1}^\infty A_i\exp(-m_i^2 D t)\frac{\sin m_ir}{r}$$ Determinar el $A_i$ de la forma habitual con el CI y la serie de Fourier.
Así que tenemos:
$$C(r,t)=-\frac{Qr^2}{6}+\sum_{i=1}^\infty A_i\exp(-m_i^2 D t)\frac{\sin m_ir}{r}$$
