Número previsto de matrimonios elegidos entre 50 personas diferentes

Question

Me he encontrado con este problema y me gustaría saber si mi planteamiento es correcto.

Seleccionamos a 10 personas de un grupo de 25 matrimonios, ¿cuál es la número esperado de parejas casadas elegidas?

Bueno, he definido el siguiente indicador:

$$ X_i = \begin{cases} \text{1, if couple i was chosen } \\ \text{0, otherwise } \end{cases} $$

A continuación, calculé la probabilidad de pareja $i$ a seleccionar, mirando al marido $i$ :

El espacio muestral es obviamente $\binom{49}{9}$ las opciones para elegir esposa $ i $ es $\binom{1}{1}$ y las combinaciones para el resto de las 8 personas es $\binom{48}{8}$ .

Todos juntos:

$$ \mathbb{P}(X_i=1) = \frac{\displaystyle\binom{1}{1} \cdot \binom{48}{8}}{\displaystyle\binom{49}{9}} = \frac{9}{49} $$

A continuación, queremos sumar las probabilidades de las 5 "parejas" elegidas:

$$ \sum_{i=1}^{5} X_i = X_1+X_2+X_3+X_4+X_5 = 5 \cdot \frac{9}{49} = \frac{45}{49} $$

¿Estoy en el buen camino o totalmente perdido?

Answer 1

Otra forma de obtener la misma respuesta:

Sea $X_i$ para $1\leq i\leq 10$ sea la variable aleatoria indicadora de que el $i$ 'a persona es varón y su mujer está entre las otras nueve personas elegidas. (Queremos específicamente el varón para no contar accidentalmente más de las parejas).

$Pr(X_i=1)=\frac{1}{2}\cdot \frac{9}{49}$

El número total de matrimonios presentes es de $X=X_1+X_2+\dots+X_{10}$

El número esperado es entonces $E[X]=\sum\limits_{i=1}^{10}E[X_i]=10\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{9}{49}=\frac{45}{49}$

Answer 2

Sí, un argumento de variable aleatoria indicadora hará el trabajo. He aquí una versión.

Sea $Y_i=1$ si Pareja $i$ y $0$ de lo contrario. Si $W$ es el número total de parejas elegidas, entonces $W=Y_1+\cdots +Y_{25}$ así que por la linealidad de la expectativa tenemos $E(W)=25E(Y_1)=25\Pr(Y_1=1)$ .

Así que tenemos que encontrar la probabilidad Pareja $1$ se elige. Existen $\binom{50}{10}$ formas de elegir $10$ personas. Suponemos que son igualmente probables. Hay $\binom{48}{8}$ formas de elegir $10$ personas, incluida la Pareja $1$ . Así $\Pr(Y_1=1)=\frac{\binom{48}{8}}{\binom{50}{10}}$ y ahora multiplicamos por $25$ .

Hay una simplificación sustancial, y terminamos con $\frac{45}{49}$ .

Answer 3

Si elijo dos personas cualesquiera al azar, ¿cuál es la probabilidad de que elija a una pareja casada?

$\frac 1{49}$

Si elegimos $10$ gente, eso hace que $45$ formas de emparejar cualquier par de $10$ elegido. Cada par tiene un $\frac 1{49}$ de ser pareja.

El número esperado de parejas es $\frac{45}{49}$