¿Qué es lo que $\ell$ y $A$ ¿se refiere precisamente a la fórmula de la resistencia eléctrica?

Question

La fórmula de la resistencia es

$$R=\rho\frac{\ell}{A}$$

Por lo general, en la mayoría de los libros de texto se dice simplemente que $\ell$ es la longitud del conductor y $A$ es su sección transversal. Pero mi pregunta es qué longitud y qué área debemos considerar, ya que un cuerpo tridimensional tiene muchas longitudes y áreas de sección transversal posibles. Los libros de texto se limitan a poner como ejemplo un cuboide sólido cuyas caras opuestas reciben una diferencia de potencial. Pero ¿qué pasa si cambio las caras a través de las cuales se aplica la diferencia de potencial (por ejemplo, si elijo dos caras adyacentes del mismo cuboide) o si cambio la forma del propio conductor (por ejemplo, una esfera sólida cuyas dos caras (a través de las cuales se aplica la diferencia de potencial) son superficies semiesféricas opuestas)?

Soy principiante en electromagnetismo y necesito aprender muchas cosas nuevas. Así que por favor ayuda.

Answer 1

La fórmula que has mostrado está pensada para un cable "largo". En este caso el longitud y el área de la sección transversal están bien definidos. Si, por el contrario, se consideran configuraciones inusuales, la fórmula de la resistencia contendrá (muy probablemente) una integral. Sin embargo, en lugar de considerar la resistencia se calcularían superficies equipotenciales: Usar la ecuación de Maxwell dentro de un conductor (con conductividad finita). Estas cosas se complican, por eso se suelen utilizar simulaciones numéricas.

Tomando tu caso en el que el alambre se sustituye por una esfera de radio $R$ y las conexiones son de radio $r<R$ la situación es lo suficientemente simple como para utilizar la resistencia.

En este caso, la "contribución" de la esfera viene dada por la integral $$ R = \int_{-r}^r\frac{\rho}{A(x)}\; dx = 2 \int_0^r\frac{\rho}{A(x)}\; dx $$ donde la sección transversal (indicada en azul) viene dada por $A(x) = \pi (R^2-x^2)$ .

¿Por qué las ecuaciones de Maxwell? Desde el punto de vista de la física, las ecuaciones de Maxwell son fundamentales para la electrodinámica (clásica). Sin embargo, no contienen una resistencia. En su lugar, utilizan campos eléctricos y magnéticos.

¿Por qué superficies equipotenciales? Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell para cualquier configuración están bien definidas, si se dan las condiciones de contorno. La condición de contorno estándar para tu tipo de problema es definir el potencial eléctrico en superficies equipotenciales. Probablemente existen formas inteligentes de simplificar y automatizar el cálculo numérico. Así que si lo que te interesa es un manual de "cómo hacerlo", probablemente deberías preguntar a un ingeniero eléctrico.

Answer 2

En la fórmula, el área (A) es perpendicular a la corriente de flujo, La longitud (l) es a lo largo del flujo de corriente. Considera un ejemplo que te aclarará las dudas. Consideremos un cilindro hueco con radio interior 'a' y radio exterior 'b' y longitud 'l' .

Caso 1 - La diferencia de potencial se aplica a lo largo de la longitud "l" del cilindro. Aquí la corriente fluye a lo largo de la longitud (l) y el área perpendicular a ella es $$π (b^2-a^2)$$ $$R = \frac{pl}{π(b^2-a^2)}$$

Caso 2 - Se aplica un potencial a través de la parte interior y exterior del cilindro

Aquí la corriente fluye de la parte interior a la parte exterior del cilindro.

El área perpendicular al flujo de corriente es diferente para diferentes distancias desde el centro del cilindro. Por lo tanto, será necesario integrarla.

Consideremos un cilindro de radio $\pmb x$ desde el centro del cilindro hueco, su ÁREA= $\pmb {2\pi xl}$ ( esto es perpendicular al flujo de corriente)

Considere una anchura $\pmb {dx}$ a lo largo de $\pmb x $ , esta será a lo largo del flujo de corriente por lo tanto esta será la longitud de la pequeña parte elemental considerada .

Consideremos ahora infinitos cilindros de este tipo a partir de $\pmb a \ to \ \pmb b$ cada uno de longitud $\pmb {dx} $ . Todos estos cilindros estarán en serie. Por lo tanto $$R = \int_a^b dR = \int_a^b\frac{p dx }{2πxl} =\frac{p ln \frac ba}{2πl}$$

Espero que esto aclare tus dudas, intenta utilizar este concepto para encontrar la resistencia de un cuboide a lo largo de diferentes longitudes de arista.

En cuanto a su segunda pregunta, puede hacerse de forma similar considerando que la diferencia de potencial se aplica a través de extremos diametralmente opuestos de la esfera,

El área perpendicular a la corriente puede tomarse como una placa circular de anchura $\pmb {dr}$ , y luego integrando a lo largo de la longitud diametral. Dejo a usted para tratar de la integración de este.

Answer 3

Los libros de texto se limitan a tomar como ejemplo un cuboide sólido cuyas caras opuestas reciben una diferencia de potencial. Pero, ¿qué pasa si cambio las caras a través de las cuales se aplica la diferencia de potencial (por ejemplo, si elijo dos caras adyacentes del mismo cuboide)?

Todo depende de la dirección del flujo de corriente.

Tomemos un cuboide con longitudes de lado $\ell_x$ , $\ell_y$ , $\ell_z$ (en $x$ , $y$ y $z$ dirección).

• Conectemos ahora un voltaje entre las caras izquierda y derecha del cuboide, de forma que la corriente circule en $x$ -Dirección. Entonces la longitud es $\ell=\ell_x$ y la sección transversal es $A=\ell_y\ell_z$ . Así que la resistencia se convierte en $R=\rho\frac{\ell}{A}=\rho\frac{\ell_x}{\ell_y\ell_z}$ .
• Como otro ejemplo, conectemos un voltaje entre las caras superior e inferior del cuboide, de modo que la corriente fluya en $z$ -Dirección. Entonces la longitud es $\ell=\ell_z$ y la sección transversal es $A=\ell_x\ell_y$ . Así que la resistencia se convierte en $R=\rho\frac{\ell}{A}=\rho\frac{\ell_z}{\ell_x\ell_y}$ .