Evalúe este límite con e

Question

Estoy resolviendo este límite, pero no encuentro una solución satisfactoria: \begin{align} \lim_{\alpha\to\infty}\frac{\ln(1+e^\alpha)}{\alpha} \end{align} He probado sustituciones como $y = e^\alpha$ y $y = 1+ e^\alpha$ pero nada parece funcionar.

Answer 1

$$\lim_{\alpha \to \infty} \frac{\ln(1+e^{\alpha})}{\alpha} \overset{\text{L.H.}}= \lim_{\alpha \to \infty}\frac{e^{\alpha}}{1+e^{\alpha}} $$ Dividiendo por $e^{\alpha}$ da $$\lim_{\alpha \to \infty} \frac{1}{e^{-\alpha} + 1}=\frac{1}{0+1} =1 $$

Answer 2

Sugerencia :

Utiliza el Teorema de la compresión :

$$\lim_{\alpha\rightarrow\infty}\frac{\ln(e^\alpha)}{\alpha}\leq\lim_{\alpha\rightarrow\infty}\frac{\ln(1+e^\alpha)}{\alpha}\leq \lim_{\alpha\rightarrow\infty}\frac{\ln(e^\alpha+e^\alpha)}{\alpha}\\\ln(e)\leq \lim_{\alpha\rightarrow\infty}\frac{\ln(1+e^\alpha)}{\alpha}\leq \ln(e)+\lim_{\alpha\rightarrow \infty}\frac{\ln(2)}{\alpha}$$

Answer 3

Tenga en cuenta que

$$\ln(1+e^a)=\ln(e^a(e^{-a}+1))=\ln(e^a)+\ln(e^{-a}+1)=a+\ln(e^{-a}+1)$$

Así

$${\ln(1+e^a)\over a}=1+{\ln(e^{-a}+1)\over a}\to1+{\ln(0+1)\over\infty}=1+{0\over\infty}=1$$

Answer 4

Bastante corto, con algunas análisis asintótico :

$1+\mathrm e^α\sim_\infty \mathrm e^α,\,$ así que $\,\ln\bigl(1+\mathrm e^α\bigr)\sim_\infty \ln\bigl(\mathrm e^α\bigr)=α$ y, por lo tanto $$\frac{\ln\bigl(1+\mathrm e^α\bigr)}{α}\sim_\infty\frac{α}{α}=1.$$