Espectáculo: $\mu(A\Delta B)=0\implies \mu(A)=\mu(B)$

Question

Sea $(\Omega,\mathfrak{A},\mu)$ sea un espacio de medidas y $A,B\in\mathfrak{A}$ . Mostrar: $\mu(A\Delta B)=0\implies\mu(A)=\mu(B)$ .

Oye, he intentado probarlo, desgraciadamente sin éxito todavía. $$ \mu(A\Delta B)=\mu((A\setminus B)\uplus (B\setminus A))=\mu(A\setminus B) + \mu(B\setminus A) $$ Ahora no sé cómo continuar; al principio pensé en algo así como $\mu(A\setminus B)=\mu(A)-\mu(B)$ pero esto sólo está bien, si $\mu(B)<\infty$ y de hecho no sé que ..

Answer 1

Pista: $\mu$ es una medida, por lo que $\mu(A\setminus B)+\mu(B\setminus A)=0$ implica $\mu(A\setminus B)=\mu(B\setminus A)=0$ .

A partir de aquí, plantéate dibujar un diagrama de Venn para ver cómo terminar el argumento.

Answer 2

$$\mu(A\cap B)\leqslant\mu(A),\mu(B)\leqslant\mu(A\cup B)=\mu(A\cap B)+\mu(A\triangle B)$$