Intersección de dos paraboloides

Question

Consideremos dos paraboloides. El primero viene dado por $x^2 + y^2 = z+5$ . Entonces, interseca el plano x-y en el círculo $x^2+y^2=5$ . El segundo paraboloide es exactamente igual al primero, sólo que desplazado en el plano x-y. Su ecuación es $(x-1)^2+(y-1)^2=z+5$ . A partir de la figura siguiente, parece claro que ambas deben intersecarse en una parábola.

Sin embargo, cuando realmente intentamos resolver las dos ecuaciones simultáneamente, obtenemos de la segunda ecuación $$x^2 + y^2 -2x - 2y + 2 = z+5.$$ Y sustituyendo $x^2+y^2=z+5$ obtenemos $$2x+2y=2.$$

Ahora bien, se trata de una función lineal. Sin embargo, la imagen parece sugerir que debería ser una parábola, que no es lineal. ¿Qué me he perdido?

Answer 1

Lo que has obtenido es la ecuación del plano que contiene a la parábola de intersección.

En efecto, la parábola en forma cartesiana está definida por dos ecuaciones diferentes, como las siguientes

• $x^2+y^2=z+5$

• $x+y=1$

Se puede parametrizar mediante

• $x=t$
• $y= 1-t$
• $z(t)=t^2+(1-t)^2-5=2t^2-2t-4$