Probabilidad de como máximo $K$ ceros consecutivos en una secuencia de 0 y 1

Question

Quiero demostrar que en una secuencia W de longitud n, formada por 1s y 0s, $P$ ( en $W$ hay como máximo $\frac{\log_2n}2$ ceros consecutivos ) $\leq \frac{K}{n} $ para alguna constante K. ¿Puede alguien ayudarme a empezar con el problema o remitirme a alguna literatura que pueda ser de ayuda.

Muchas gracias.

Answer 1

Sea $a<1<b$ . Demuestro que para grandes $n$ :

1) la probabilidad de que una secuencia aleatoria de longitud $n$ tiene al menos $B:=b\log_2 n$ ceros consecutivos es como máximo $n^{1-b}$ ;

2) la probabilidad de que una secuencia aleatoria de longitud $n$ no contiene $A:=\lfloor a\log_2 n\rfloor$ ceros consecutivos es como máximo $e^{-n^{1-a+o(1)}}=O(n^{-M})$ para cualquier $M>0$ .

Pruebas. 1) Para cada lugar posible de $\lceil B\rceil $ posiciones consecutivas consideran el suceso: todas las posiciones son 0. Denotemos estos sucesos $E_1,E_2,\dots$ . La suma de sus probabilidades no supera $$\frac{n}{2^B}\leqslant n^{1-b}. $$

2) Elija $m:=\lfloor n/A\rfloor$ segmentos disjuntos de $A$ lugares consecutivos. La probabilidad de que ninguno de ellos contenga sólo ceros es igual a $$ (1-2^{-A})^m\leqslant e^{-m\cdot 2^{-A}}=e^{-n^{1-a+o(1)}} $$

Answer 2

Si está interesado en la serie más larga de 0 en el entorno i.i.d., consulte este artículo: http://gato-docs.its.txstate.edu%2Fmathworks%2FDistributionOfLongestRun.pdf&usg=AFQjCNE8shEgVJmaWNEVSYv5YNRIs088CA&sig2=OTB5H3mF7NVoEwIZs_foJw

También esto:
L. Gordon, M.F. Schilling, M.S. Waterman (1986) Una teoría de valores extremos para carreras de cabeza largas. Probab. Theory Relat. Fields 72 , 279-287.