Relación simétrica y reflexiva

Question

Sea R una relación sobre el conjunto de pares ordenados de números enteros positivos tal que ((p,q),(r,s))R si y sólo si ps=qr. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta sobre R?

Tanto reflexivo como simétrico Reflexivo pero no simétrico No reflexivo pero simétrico Ni reflexivo ni simétrico

Solución:

El truco clave aquí es darse cuenta de que la relación es de la forma :

{par ordenado, par ordenado} y no simplemente par ordenado.

Ok, entonces para reflexivo

$\forall_{a,b}\, if((a,b),(a,b)) \in \mathrel{R} \rightarrow \text{reflexive}$

$((a,b),(a,b))R(ab=ba)$ (no es posible para ningún entero positivo b y a)

Pero eso es una contradicción, por lo tanto no es reflexivo.

Ahora, para la simétrica

$((a,b),(c,d))R((c,d),(a,b))R$ $((a,b),(c,d))R(ad=bc)$ $((c,d),(a,b))R$

$(cb=da)(da=cb)((ad)=(bc))(ad=bc)$

Esta es la solución dada en de fuente confiable de examiniation técnica.

Pero mi duda es si estamos diciendo que $((a,b),(c,d))R((c,d),(a,b))R$ para ser simétrico ¿verdad?

¿Por qué comprobamos la relación simétrica en un par ordenado y la relación reflexiva en sólo dos pares? $((a,b),(a,b))R$

Se dice que una relación reflexiva es reflexiva si $xRx \forall_{x}\ $ en $R$

Answer 1

Volver a lo básico.

Una relación $R$ en un conjunto $A$ es reflexivo si $(x,x)\in R, \forall x\in A.$

Es simétrico si $(x,y)\in R\Rightarrow (y,x)\in R, \forall x,y\in A.$

La cuestión es que la reflexividad no es una afirmación condicional, mientras que la simetría sí lo es. Además, la reflexividad busca pares ordenados con entradas idénticas, pero en los simétricos se busca el inverso de un par ordenado, especialmente los que tienen diferente primera y segunda entrada.