¿Cuántos menores principales puede tener una matriz de 3x3?

Question

Estoy leyendo el libro Imágenes por radar polarimétrico: De los fundamentos a las aplicaciones
En la página 75, está esta afirmación:

$$T_3 = \begin{bmatrix} 2A_0 & C-jD & H+jG\\ C+jD & B_0+B & E+jF\\ H-jG & E-jF & B_0-B \end{bmatrix}$$ Como la coherencia $T_3$ en tal caso es una matriz hermitiana de rango 1, se deduce que que sus nueve menores principales son cero, con:
$$\bbox[yellow]{2A_0(B_0+B)-C^2-D^2=0}\\ \bbox[yellow]{2A_0(B_0-B)-G^2-H^2=0}\\ -2A_0E+CH-DG=0\\ \bbox[yellow]{B_0^2-B^2-E^2-F^2=0}\\ C(B_0-B)-EH-GF=0\\ -D(B_0-B)+FH-GE=0\\ 2A_0F-CG-DH=0\\ -G(B_0+B)+FC-ED=0\\ H(B_0+B)-CE-DF=0$$

Me lo pregunto porque sé que un $3\times 3$ matriz tiene nueve $2\times 2$ ¡¡submatrices y así nueve menores, pero sólo 3 de ellos (los resaltados son menores principales)?!!

Las demás son sólo submatrices (no principales), por lo que las otras seis ecuaciones resultan de $\Re{|A_{({1,3},{1,2})}|}=0$ , $\Im{|A_{({1,3},{1,2})}|}=0$ , $\Re{|A_{({2,3},{1,2})}|}=0$ , $\Im{|A_{({2,3},{1,2})}|}=0$ , $\Re{|A_{({2,3},{1,3})}|}=0$ , $\Im{|A_{({2,3},{1,3})}|}=0$

Sabiendo que cuando un $3\times 3$ matriz es de rango 1, el determinante de todas sus $2\times 2$ submatrices ( $2\times 2$ menores) deben ser cero y no sólo los principales.

Answer 1

Para una $3\times 3$ matriz, $$A =\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} $$ hay un menor principal de tercer orden, a saber $|A|$ .

Hay tres menores principales de segundo orden:
$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}$ formado por la eliminación de la columna $3$ y fila $3$ .

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{13}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix}$ formado por la eliminación de la columna $2$ y fila $2$ .

$\begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$ formado por la eliminación de la columna $1$ y fila $1$ .

Hay tres menores principales de primer orden: $|a_{11}|, |a_{22}|, a_{33}|$ .