encontrar pares de números reales $x, y$ para satisfacer esta ecuación

Question

Ecuación es: $(x + y)^2 = (x + 3)(y 3)$

No pido una solución, sino un planteamiento. ¿Cómo pruebo este tipo de preguntas? He tratado de arreglarlo para que

es $x + y$ = ....

Pero sigo sin conseguir nada, nada intuitivo al menos. ¿Cuál es la forma de solucionar este problema?

Answer 1

Pista:

Expandiendo tenemos $$\begin{align*} (x+y)^2&=(x+3)(y-3)\\ \iff x^2+2xy+y^2&=xy-3x+3y-9\\ \iff x^2+xy+y^2+3x-3y+9&=0\\ \iff \tfrac12(x+y)^2+\tfrac12(x+3)^2+\tfrac12(y-3)^2&=0 \end{align*}$$ Así que debemos tener $$x+y=x+3=y-3=0$$

Answer 2

Utiliza la desigualdad: $ab \le \dfrac{(a+b)^2}{4}$ con $a = x+3, b = y-3$ que tienes: $(x+y)^2 \le \dfrac{(x+y)^2}{4}\implies (x+y)^2 \le 0 \implies x+y = ...$

Answer 3

Sugerencia de dxiv:

Establecer $u: = x +3; v: = y- 3$ Entonces

$\star)$ $u^2 + uv + v^2 = 0$ .

Considera el cuadrado:

$(u +v)^2 = u^2 + 2uv +v^2 \ge 0$ .

Resta $\star$ :

$\Rightarrow$ $uv \ge 0$ .

Por lo tanto $\star$ implica :

$v= u = 0$ es decir $x +3 = y - 3 = 0$ .