Isomorfismos en teoría de categorías

Question

Tengo problemas para entender los isomorfismos.

Por ejemplo, en la categoría Posets que Awodey define como la categoría con posets como objetos y funciones monótonas como flechas, explica que los homomorfismos biyectivos no son necesariamente isomorfismos. Su ejemplo son los posets $A=(U,_A)$ y $B=(U,_B)$ con $U=\{0,1\}$ y $_A=\{(0,0),(1,1)\}$ y $_B=\{(0,0),(0,1),(1,1)\}$ .

Ahora hay obviamente una Flecha $f:AB$ correspondiente a la identidad en U y la identidad en U es también una flecha $g:BA$ . Lo que no entiendo es: ¿por qué no son inversas?

Claro que parece que es así porque B está totalmente ordenado mientras que A no, pero no veo cómo puedo demostrarlo. Si defino las flechas como funciones monótonas operan sobre Elementos en U y para esos $f\circ g$ es la identidad.

Answer 1

Usted tiene $0\le_B 1$ pero $g(0)\not\le_A g(1)$ . Así que $g$ no es una flecha en $\mathbf{Poset}$ .

En términos más generales, $(U,\le_A)$ es totalmente desordenado por lo que cualquier mapa $U\to V$ ( $V$ con cualquier relación de orden) es monótona, porque no hay ningún par que pueda falsarla.

Es bastante fácil ver que si $A=(U,\le_A)$ y $B=(V,\le_B)$ son isomorfas en $\mathbf{Poset}$ y $A$ está totalmente desordenada, entonces también $B$ es. Con una técnica similar, si $A$ está totalmente ordenado, entonces cualquier poset isomorfo a $A$ vuelve a estar totalmente ordenada.

Como observa Martin Brandenburg, $f\colon A\to B$ es un isomorfismo si y sólo si

• $f$ es biyectiva y
• $x\le_A y$ sólo si $f(x)\le_B f(y)$ .