La función de distancia de la variedad geodésicamente convexa

Question

$M$ es una variedad riemanniana geodésicamente convexa, es decir, para dos puntos cualesquiera $p,q$ en $M$ existe una única geodésica minimizadora que las conecta. ¿Podemos concluir que para cualquier $p \in M$ la función $f(x)=(d(x,p))^2$ es suave cuando $d$ es la función de distancia ?

Answer 1

Sí. Como anotado en Wikipedia

"La función de distancia de $p$ es una función suave excepto en el punto $p$ y el lugar de corte".

El lugar de corte es el conjunto de todos los puntos $q \in M$ tal que exista más de una geodésica minimizadora distinta entre $q$ y $p$ . Por lo tanto, $d$ será suave en todos los puntos que no sean $p$ y, por tanto $d^2$ será suave en todos los $M$ .