Sé que dado un espacio medible $(\Omega, \mathcal F)$ si una función de conjunto finitamente aditiva $\mu$ es finito y continua desde arriba en $\varnothing$ entonces $\mu$ es una medida. Pero ¿y si $\mu (\Omega)=\infty$ ? ¿Podría demostrarlo o dar un contraejemplo?
Respuesta
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He aquí un contraejemplo.
Sea $\Omega = \Bbb N$ y $\mathcal F= 2^{\Bbb N}$ . Defina $\mu$ en $\mathcal F$ por: $\mu(E)= 0$ si $E$ es finito y $\mu(E)= +\infty$ si $E$ es infinito.
Tenga en cuenta que $\mu(\Omega) = +\infty$ .
Es fácil ver que $\mu$ es finitamente aditivo y $\mu$ es continua desde arriba en $\emptyset$ . PERO $\mu$ no es $\sigma$ -aditivo.
Observación . Recordemos la definición: Una función de conjunto $\mu$ es continua desde arriba en $\emptyset$ si dada cualquier secuencia decreciente $E_1 \supseteq E_2\supseteq E_3 \supseteq ... $ de conjuntos en $\mathcal F$ tal que $\bigcap_n E_n = \emptyset$ si hay al menos un $n$ tal que $\mu(E_n)< +\infty$ entonces $\lim_{n \to +\infty} \mu(E_n) =0$ .
