Lema del artículo de Donnelly-Fefferman

Question

Estoy leyendo el periódico Conjuntos nodales de funciones propias del Laplaciano en superficies de Donnelly y Fefferman disponible aquí . Tengo un problema para entender el Lemma 5.10. A mi entender, lo que sigue es el contenido del Lemma 5.10

Sea $\mathbb{D}$ sea el disco unitario en $\mathbb{R}^2$ centrado en el origen. Fijar $m \in \mathbb{N}$ . Entonces existe una constante $C_m >0$ tal que para cualquier $g :\mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}$ que cumpla la siguiente condición \begin{align*} \max_{|\alpha| \leq m} \left| \frac{\partial^{\alpha}g}{\partial z^{\alpha}}(0) \right| \geq 1 \end{align*} hay un par de direcciones perpendiculares $v_1$ y $v_2$ y algunos $k \leq m$ (aquí $v_1, v_2$ y $k$ puede depender de la función $g$ ) de forma que se cumpla lo siguiente \begin{align*} |\partial_{v_1}^{k}g(0)| \geq C_m~\mbox{and}~|\partial_{v_2}^{k}g(0)| \geq C_m \end{align*}

He aquí mis preguntas sobre este lema.

1. En primer lugar, ¿es correcta mi interpretación del enunciado del Lemma 5.10? Más concretamente, ¿se afirma que existe una constante universal $C_m$ (independiente de la función $g$ )?

2. Si la respuesta a mi primera pregunta es afirmativa, no veo por qué la prueba aportada en el documento establece la existencia de la constante universal. $C_m$ .

Gracias de antemano.

Answer 1

$\newcommand{\al}{\alpha} \newcommand{\G}{\mathcal{G}} \newcommand{\PP}{\mathcal{P}}$ Te falta la condición (ii) en la fórmula (5.9) de ese documento. Esa fórmula es \begin{equation} \begin{aligned} &\text{(i)}\quad \sup_{|\al|\le c_4} \Big| \frac{\partial^{\al}g}{\partial z^{\al}}(0) \Big|\ge b_6, \\ &\text{(ii)}\quad \sup_{|z|<1/2}\sup_{|\al|\le c_4+1} \Big| \frac{\partial^{\al}g}{\partial z^{\al}}(z)\Big|\le b_7. \end{aligned} \tag{5.9} \end{ecuación} Parece que, en el documento $a_i$ 's, $b_i$ y $c_i$ denotan constantes reales positivas, que pueden depender únicamente de las constantes mencionadas anteriormente en el documento.

Entonces el Lemma 5.10 parece decir que para algún entero no negativo $k\le c_4$ y algunos vectores unitarios perpendiculares $v_1$ y $v_2$ tenemos \begin{align*} |\partial_{v_1}^{k}g(0)|\ge b_{11}~\mbox{and}~|\partial_{v_2}^{k}g(0)|\ge b_{11}. \end{align*}

Esto es cierto, con $b_{11}>0$ dependiendo sólo de $c_4,b_6,b_7$ . En efecto $\G$ sea el conjunto de todas las funciones suaves $g$ que satisfaga (5.9), y que $\PP$ sea el conjunto de los polinomios de Taylor (en $0$ ) de orden $\lfloor c_4\rfloor$ de las funciones $g\in\G$ . El conjunto $\PP$ es obviamente compacta en la topología natural sobre $\PP$ . Por lo tanto, existe \begin{align} \mu&:=\min_{g\in\G}\max_{k,v_1,v_2}(|\partial_{v_1}^{k}g(0)|\wedge|\partial_{v_2}^{k}g(0)|) \\ & =\min_{P\in\PP}\max_{k,v_1,v_2}(|\partial_{v_1}^{k}P(0)|\wedge|\partial_{v_2}^{k}P(0)|)\in[0,\infty), \end{align} donde $\max_{k,v_1,v_2}$ es sobre todos los enteros no negativos $k\le c_4$ , y todos los vectores unitarios perpendiculares $v_1$ y $v_2$ .

Sea $P$ sea un minimizador de $\min_{P\in\PP}$ . Por la condición (5.9)(i), $P$ es un polinomio distinto de cero de grado $\le c_4$ y por tanto tiene un término no evanescente de orden $k\le c_4$ . Así que.., $\partial_v^{k}P(0)=0$ sólo para un número finito de vectores unitarios $v$ . Por lo tanto, podemos encontrar vectores unitarios perpendiculares $v_1$ y $v_2$ tal que $|\partial_{v_1}^{k}P(0)|\wedge|\partial_{v_2}^{k}P(0)|>0$ . Así, $\mu>0$ . Queda por dejar $b_{11}:=\mu>0$ que sólo depende de $c_4,b_6,b_7$ .