Yo estaba viendo singingbananas vídeo de Introducción a la Teoría de grupos, y cerca del final, dice "todos los otros grupos pueden encontrarse en algunas de las simétrica grupo", y yo me preguntaba, "¿es posible encontrar el $n$ para los que, digamos, el monstruo $M$ es un subgrupo de $S_{n}$? (o cualquier otro grupo)
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Siempre se puede incrustar un grupo finito $G$ a $S_n$ donde $n=|G|$ es el tamaño de $G$. Esto es simplemente Cayley del Teorema: tomar el conjunto subyacente de $G$ como el conjunto sobre el que actúan, y deje $G$ ley por la izquierda de la multiplicación en $G$.
Explícitamente: vamos a $f_g\colon G\to G$ ser la función (no un grupo de homomorphism) definido por $f_g(x) = gx$. Este mapa es un bijection, ya $f_{g^{-1}}$ es la inversa del mapa. Por lo que podemos ver $f_g$ como un elemento del grupo de todas las permutaciones del conjunto $G$, que es isomorfo a $S_n$ a través de cualquier bijection de $G$$\{1,\ldots,n\}$. El mapa que envía a $g\in G$ $f_g$es un grupo homomorphism, ya $f_{gh} = f_g\circ f_h$; y uno-a-uno, ya que la $f_g(x) = x$ todos los $x$ si y sólo si $g=e$. Así que el homomorphism $g\mapsto f_g$, seguido por el isomorfismo entre el grupo de las permutaciones en el set $G$ $S_n$ da una incrustación de $G$ a $S_n$.
Sin embargo, este no es necesariamente el más pequeño $n$ para que esto funciona; para tomar un ejemplo extremo, es claro que se puede incrustar $S_5$$S_5$, pero el argumento anterior se incrusta en $S_{120}$, una mucho mayor grupo (tamaño de la $120!$, en comparación con el tamaño de la $120$ cual es suficiente).
En lugar de ello, es que a veces interesados en encontrar el menor $n$ que $G$ es isomorfo a un subgrupo de $S_n$. Este es el llamado "mínimo de permutación representación de $G$". Yo no creo que esta sea conocida en general, pero se pueden encontrar algunos de discusión sobre este en un MathOverflow pregunta pregunté a un par de meses atrás.
Xenph Yan
Puntos
20883
Habrá un número infinito de tales $n$, porque si $n_1\leq n_2$, $S_{n_1}$ puede ser considerado como un subgrupo de $S_{n_2}$, de modo que si hay una copia de $G$ como un subgrupo de $S_{n_1}$, aparecerá como un subgrupo de $S_{n_2}$. Pero es muy fácil encontrar un $n$ para que un grupo de $G$ es un subgrupo de $S_n$ - es decir, $n=|G|$. La idea es que cada $g\in G$ envía un elemento $x\in G$ a un nuevo elemento de $G$, es decir,$gx$. Esto es en realidad una permutación de los elementos de $G$. La colección de todas las permutaciones de los elementos de $G$ $S_n$ donde $n=|G|$, pero no todos ellos necesariamente provenían de la multiplicación por algunos $g$; por lo tanto, $G$ (en general) como un subgrupo de $S_n$ donde $n=|G|$. Ver del Teorema de Cayley.
Nicky Hekster
Puntos
17360
Es posible que desee leer http://www.math.uic.edu/~rtakloo/ponencias/grupo-papel/delta.12.pdf. Ha habido una gran cantidad de investigación en un mínimo de S_n incrustaciones.
