La linealidad de la expectativa es una afirmación muy simple y "obvia", pero tiene muchas aplicaciones no triviales, por ejemplo, para analizar algoritmos aleatorios (por ejemplo, el el problema del coleccionista de cupones ), o en algunas pruebas en las que tratar con variables aleatorias no independientes haría que cualquier cálculo resultara desalentador.
¿Cuáles son las aplicaciones más limpias, elegantes o llamativas de la linealidad de las expectativas que ha encontrado?
La aguja de Buffon: gobernar una superficie con líneas paralelas a una distancia $d$ aparte. ¿Cuál es la probabilidad de que una aguja de longitud $\ell\leq d$ cruza una línea?
Considere la posibilidad de abandonar cualquier curva (continua) de longitud $\ell$ en la superficie. Imagina dividir la curva en $N$ segmentos de línea recta, cada uno de longitud $\ell/N$ . Sea $X_i$ sea el indicador del $i$ -ésimo segmento que cruza una línea. Entonces, si $X$ es el número total de veces que la curva cruza una línea, $$\mathbb E[X]=\mathbb E\left[\sum X_i\right]=\sum\mathbb E[X_i]=N\cdot\mathbb E[X_1].$$ Es decir, el número esperado de cruces es proporcional a la longitud de la curva (e independiente de la forma).
Ahora tenemos que fijar la constante de proporcionalidad. Tomemos la curva como un círculo de diámetro $d$ . Casi con toda seguridad, esta curva cruzará una línea dos veces. La longitud del círculo es $\pi d$ por lo que una curva de longitud $\ell$ cruza una línea $\frac{2\ell}{\pi d}$ veces.
Ahora observa que una aguja recta de longitud $\ell\leq d$ puede cruzar una línea $0$ o $1$ veces. Así que la probabilidad de que cruce una línea es precisamente este valor de expectativa $\frac{2\ell}{\pi d}$ .
En lulu mencionado en un comentario, el hecho de que una permutación uniformemente aleatoria $\pi\colon\{1,2,\dots,n\}\to\{1,2,\dots,n\}$ tiene en expectativa un punto fijo es una afirmación bastante sorprendente, con una demostración de una sola línea.
Sea $X$ es el número de puntos fijos de tal aleatorio uniforme $\pi$ . Entonces $X=\sum_{k=1}^n \mathbf{1}_{\pi(k)=k}$ y, por tanto $$ \mathbb{E}[X] = \mathbb{E}\left[\sum_{k=1}^n \mathbf{1}_{\pi(k)=k}\right] = \sum_{k=1}^n \mathbb{E}[\mathbf{1}_{\pi(k)=k}] = \sum_{k=1}^n \mathbb{P}\{\pi(k)=k\} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} = 1\,. $$
Puedes demostrar la fórmula de la suma de colas para la expectativa utilizando la linealidad de la expectativa. Sólo se demostrará en el caso discreto. Sea $X$ sea un V.R. discreto no negativo, y obsérvese que
$$X = \mathbb{I}\{X \ge 1\} + \mathbb{I}\{X \ge 2\} + \ldots$$
Utiliza la linealidad de la expectativa en lo anterior y ya está.
De forma un tanto circular, se recupera la definición de expectativa a partir de una propiedad de la expectativa.
Una que me gusta es:
Enumerar $n$ -muchas bolas, colocar en una urna y sacar $k$ -muchos al azar sin reemplazo. Sea $S = X_1+ \ldots X_k$ sea su suma donde $X_i$ es el valor de $i^{th}$ pelota. Entonces por linealidad de la expectativa tenemos
$\displaystyle E[S]= E \bigg [ \sum_{j = 1}^k X_j \bigg ] = \sum_{j = 1}^k E[X_j] = k \cdot E[X_j] = k \cdot \frac{n+1}{2}$ .
Y como dibujamos sin reemplazo no tenemos independencia.
Acabo de ver una bonita aplicación en una conferencia 1 que encaja perfectamente con el caso de variables aleatorias no independientes que mencionaste - dejemos que $S = \{(x_1, \ldots, x_n) \in \{0, 1\}^n | \sum_i x_i \leq k\}$ . Si $k \leq \frac{n}{2}$ entonces $|S| \leq 2^{n \cdot H_b\left(\frac{k}{n}\right)}$ donde $H_b(p)$ es la función de entropía binaria.
Esto se demuestra dejando que $(X_1, \ldots, X_n)$ se distribuyan uniformemente en $S$ . Entonces $H(X_1, \ldots, X_n) = \log |S|$ . Al darse cuenta de que el $X_i$ están idénticamente distribuidos: $$H(X_1, \ldots, X_n) \leq H(X_1) + \ldots + H(X_n) = n \cdot H(X_1)$$
$X_1$ toma valores en $\{0, 1\}$ por lo que podríamos calcular $H(X_1) = H_b(\mathbb{E}[X_1])$ y terminar esto si podemos atar $\mathbb{E}[X_1]$ . Ahora viene el uso de la linealidad de la expectativa: tenemos $$n \cdot \mathbb{E}[X_1] = \mathbb{E}[X_1] + \ldots + \mathbb{E}[X_n] = \mathbb{E}[X_1 + \ldots + X_n] \leq k$$ así que $\mathbb{E}[X_1] \leq \frac{k}{n}$ . En $\frac{k}{n} \leq \frac{1}{2}$ y $H_b(p)$ aumenta en $[0, \frac{1}{2}]$ tenemos $H(X_1) \leq H_b\left(\frac{k}{n}\right)$ terminando la prueba.
1: De https://ttic.uchicago.edu/~madhurt/cursos/infoteoría2017/l2.pdf
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