Recientemente he estado jugando con el mapa discreto
$$z_{n+1} = z_n - \frac{1}{z_n}$$
Es decir, asignar repetidamente cada número a la diferencia entre sí mismo y su recíproco. Muestra un comportamiento interesante. Este mapa parece tan sencillo y obvio que dudo mucho que se haya analizado antes. Sin embargo, yo (y varias personas a las que he preguntado) no hemos podido encontrar ningún tipo de bibliografía sobre él en Internet (en parte porque es difícil buscar matemáticas en Google y en parte porque mucha gente en Internet pregunta por "el diferencia entre "inverso" y ' recíproco '"). Tampoco he podido encontrarlo en la Wikipedia Lista de mapas caóticos . ¿Este mapa tiene un nombre que pueda buscar?
Soy vagamente consciente de Transformaciones de Möbius pero está claro que no es una (aunque podría expresarse como una combinación de dos o más transformaciones de Möbius).
Enumero aquí algunas cosas que he observado sobre el mapa (algunas probadas, otras conjeturadas), por si a alguien le suenan en términos de mapas relacionados o generalizaciones:
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El mapa es caótico en la línea real. Todas las órbitas son inestables, y el mapa es muy sensible a las condiciones iniciales. Aquí están las primeras 1000 iteraciones a partir de cada una de $4.000001$ a $4.000009$ :
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No es caótico en ninguna otra parte del plano complejo: todas las trayectorias que no empiecen en la línea real acabarán siendo atraídas por el eje imaginario y aumentarán de magnitud sin límite.
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Antes de hacer eso, cualquier trayectoria puede saltar dentro y fuera del círculo unitario arbitrariamente a menudo. Si coloreo el plano complejo en función del patrón "dentro-fuera" de la trayectoria, obtengo un ingenioso fractal de círculos deformados que cubren el eje real (los colores repetidos se deben a una paleta limitada):
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Creo que el número de órbitas de período $n$ viene dado por OEIS A001037 (todos los cuales están en la recta real), siempre que cuentes los puntos fijos $\pm \infty$ .
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Como señala Mark McClure en los comentarios, el mapa $$ z_{n+1} = z_n + \frac{1}{z_n} $$ es idéntico al que estoy viendo, pero con los papeles de los ejes real e imaginario intercambiados. Este mapa, al igual que $z_{n+1} = 2z - 1/z$ tiene una breve sección en la obra de Alan F. Beardon Iteración de funciones racionales pero eso no va mucho más allá de lo que he mencionado anteriormente, y no me ayuda a encontrar más literatura sobre los mapas en este momento.
Tenga o no alguna utilidad, analizar este mapa es para mí un bonito ejercicio de matemáticas recreativas, pero estoy llegando un poco al límite de mis capacidades y me gustaría averiguar si se sabe algo más sobre este mapa (o si tendré que demostrar yo mismo mis conjeturas :)).
