Si $f$ es irreducible sobre $K$ entonces todos sus ceros tienen la misma multiplicidad

Question

Recientemente completamos la seprabilidad del libro de Cohn (Álgebra Básica) y estoy atascado en esta pregunta.

Estaba pensando que dejar $f\in K[x]$ sea el polinomio irreducible donde $K$ es un campo , $\alpha$ y $\beta$ sean dos de sus ceros en alguna extensión con multiplicidad $m$ y $n$ Entonces $f(x)=(x-\alpha)^mg(x)$ en $K(\alpha)[x]$ y $f(x)=(x-\beta)^nh(x)$ en $K(\beta)[x]$ donde $g(\alpha)\neq0$ y $h(\beta)\neq0$ .

Desde $f$ es irreducible tenemos a $K$ - isomorfismo $\sigma: K(\alpha) \to K(\beta)$ que lleva $\alpha \to \beta$ . Desde aquí deberíamos poder hacer algo para conseguir $m=n$ o suponer que son desiguales y entonces obtener una contradicción. Pero no se me ocurre ninguna manera. Cualquier ayuda se agradece. Gracias.

Answer 1

$f^{\sigma}=(x-\beta)^mg^{\sigma}(x)$ implica que $m\leq n$ utilizando $\sigma^{-1}$ deducimos que $n\leq m$ .